Question

【題目】如圖，四棱錐中，，，，，為等邊三角形，是棱上一點(diǎn).

（1）證明：；

（2）若平面，求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）取中點(diǎn)為，連結(jié)， ，通過證明平面，可得；

（2）過作，設(shè)，連，，利用直線與平面平行的性質(zhì)定理可得，又，所以四邊形為平行四邊形，所以、分別為、的中點(diǎn)，再通過計(jì)算可得，從而可得到平面的距離為，然后根據(jù)體積公式可得結(jié)果.

（1）取中點(diǎn)為，連結(jié)， .

因?yàn)?/span>為等邊三角形，，

因?yàn)?/span>，所以，

又因?yàn)?/span>，

所以四邊形為平行四邊形，

因?yàn)?/span>，所以四邊形為矩形，即，

因?yàn)?/span>且平面，平面，所以平面，

因?yàn)?/span>平面，所以.

（2）過作，設(shè)，連，，則四邊形為平面四邊形，

因?yàn)?/span>平面，所以，

因?yàn)?/span>，，所以，所以四邊形為平行四邊形，

所以，又，所以，

所以為的中位線，即、分別為、的中點(diǎn)，

由（1）知平面，因?yàn)?/span>平面，所以平面平面，

作于點(diǎn)，因?yàn)槠矫?/span>平面，所以平面，

因?yàn)?/span>為等邊三角形且，點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，

在中，因?yàn)?/span>，所以，

所以，所以，即，

所以到平面的距離為，

所以.