Question

【題目】已知橢圓的離心率為，過橢圓右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，在軸上是否存在一點(diǎn)（異于點(diǎn)），使軸上任意點(diǎn)到直線，的距離均相等？若存在，求點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在點(diǎn)

【解析】

（1）由題意可得方程解方程后即可得解；

（2）設(shè)直線，，，假設(shè)存在點(diǎn)，設(shè)，由題意，聯(lián)立方程組表示出、，代入即可得解.

（1）由題意得，解得:，，.

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.

（2）依題意，若直線的斜率不為零，可設(shè)直線，，.

假設(shè)存在點(diǎn)，設(shè)，由題設(shè)，，且，.

設(shè)直線，的斜率分別為，，

則，.

因?yàn)?/span>，在上，

故，，

而軸上任意點(diǎn)到直線，距離均相等等價(jià)于“平分”，

繼而等價(jià)于.

則.

聯(lián)立，消去得：，

有，.

則，

即，故或（舍）.

當(dāng)直線的斜率為零時(shí)，也符合題意.

故存在點(diǎn)，使得軸上任意點(diǎn)到直線，距離均相等.