已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,△ACD為等腰直角三角形,AC⊥AD,且AD=DE=2AB,F(xiàn)為CD中點.
(Ⅰ)求證:平面BCE⊥平面CDE;
(Ⅱ)求直線BF和平面BCE所成角的正弦值.
分析:(Ⅰ)以A為原點,
AC
、
AD
、
AB
分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系,利用向量法能證明平面BCE⊥平面CDE.
(Ⅱ)由F為CD中點,知F(a,a,0),
BF
=(a,a,-a)
.由此利用向量法能求出直線BF和平面BCE所成角的正弦值.
解答:(本小題滿分13分)
解:(Ⅰ)以A為原點,
AC
AD
、
AB
分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系,如圖所示.…(1分)
設(shè)AB=a,因為△ACD為等腰直角三角形,AC⊥AD,且AD=DE=2AB,
所以B(0,0,a),C(2a,0,0),D(0,2a,0),E(0,2a,2a),…(2分)
所以
BC
=(2a,0,-a)
,
BE
=(0,2a,a)

CD
=(-2a,2a,0)
DE
=(0,0,2a)
.…分
設(shè)平面BCE的法向量為
n1
=(x,y,z),
則由
n1
BC
=0
n1
BE
=0
,得
2ax-az=0
2ay+az=0

令z=2,則
n1
=(1,-1,2).…(5分)
設(shè)平面CDE的法向量為
n2
=(x,y,z),
則由
n2
CD
=0
n2
DE
=0
,得
-2ax+2ay=0
2az=0

令x=1,則
n2
=(1,1,0).…(7分)
所以
n1
n2
=0,所以平面BCE⊥平面CDE.…(8分)
(Ⅱ)因為F為CD中點,所以F(a,a,0),
BF
=(a,a,-a)

則cos<
BF
,
n1
>=
BF
n1
|
BF
|•|
n1
|
=
-2a
6
×
3
a
=-
2
3
.…(11分)
設(shè)直線BF和平面BCE所成角為θ,
則sinθ=|cos<
BF
n1
|=|
a-a-2a
6
×
3
a
|=
2
3

所以直線BF和平面BCE所成角的正弦值為
2
3
.…(15分)
點評:本題考查平面與平面垂直的證明,考查直線與平面所成角的正弦值的求法,解題時要認真審題,注意向量法的合理運用.
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精英家教網(wǎng)如圖,已知AB⊥平面ACD,DE∥AB,△ACD是正三角形,AD=DE=2AB,且F是CD的中點.
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