Question

19．在等邊△ABC中，D，E分別是AB，AC邊上的中點(diǎn)，那么以B，C為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)D，E的雙曲線的離心率是$\sqrt{3}$+1．

Answer 1

分析 首先設(shè)三角形的邊長(zhǎng)為4，并以BC為橫軸，BC的中垂線為縱軸建立坐標(biāo)系，進(jìn)而寫出A、B、C、D、E的坐標(biāo)，然后根據(jù)雙曲線的定義得出a的值，即可求出結(jié)果．

解答 解：以BC為橫軸，BC的中垂線為縱軸，設(shè)B（-2，0）C（2，0）
則A（0，2$\sqrt{3}$），D（-1，$\sqrt{3}$），E（1，$\sqrt{3}$），c=2，
∵橢圓與雙曲線均過(guò)D，E，
∴2a=BE-CE=2（$\sqrt{3}$-1），
∴a=$\sqrt{3}$-1，
∴e=$\frac{2}{\sqrt{3}-1}$=$\sqrt{3}$+1．
故答案為$\sqrt{3}$+1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了雙曲線的定義以及性質(zhì)，對(duì)于選擇題與填空題可以采取靈活多樣的方法作答，其中取特殊值法是常用方法．