17.已知函數(shù)f(x)=$\frac{1}{3}$x3-2ax2+3a2x+b(a>0).
(1)當y=f(x)的極小值為1時,求b的值;
(2)若f(x)在區(qū)間[1,2]上是減函數(shù),求a的范圍.

分析 (1)求出函數(shù)的導數(shù),得到函數(shù)的單調區(qū)間,從而求出f(3a)是函數(shù)的極小值,求出b的值即可;
(2)根據(jù)函數(shù)的單調性得到[1,2]⊆[a,3a],求出a的范圍化簡.

解答 解:(1)f′(x)=x2-4ax+3a2=(x-a)(x-3a),
令f′(x)≥0,解得:x≤a,x≥3a,
令f′(x)<0,解得:a<x<3a,
故f(x)在(-∞,a)遞增,在(a,3a)遞減,在(3a,+∞)遞增,
由函數(shù)的單調性可知,函數(shù)在x=3a處取極小值,
即f(3a)=$\frac{1}{3}$(3a)3-2a(3a)2+3a23a+b=1,
所以b=1;
(2)f′(x)=x2-4ax+3a2=(x-a)(x-3a),
要使f(x)在區(qū)間[1,2]上是減函數(shù),
則導數(shù)在[1,2]小于等于0,
即[1,2]⊆[a,3a],
故$\left\{\begin{array}{l}{3a≥2}\\{a≤1}\end{array}\right.$,
所以$\frac{2}{3}$≤a≤1.

點評 本題考查了函數(shù)的單調性、極值問題,考查導數(shù)的應用以及集合的包含關系,是一道中檔題.

練習冊系列答案
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A.-5B.-7C.-9D.-11

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