【題目】(2015·陜西）設(shè)fn(x)=x+x2+x...+xn-1, nN, n≥2。
（1）fn'(2)
（2）證明:fn(x)在（0，）內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)（記為an)， 且0<an-<()n.

【答案】
（1）

fn'(2)=（n-1）2n+1


（2）

見解析。


【解析】
（1）由題設(shè)fn'(x)=1+2x+...+nxn-1, 所以fn'(2)=1+2x2+...+n2n-1, 此式等價(jià)于數(shù)列{n·2n-1}的前n項(xiàng)和， 由錯(cuò)位相減法得fn'(2)=（n-1）2n+1。
（2）因?yàn)閒(0)=-1<0, fn'()=1-2x()n≥1-2x()2>0, 所以fn(x)在在（0，）內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，又fn'(x)=1+2x+...+nxn-1>0, 所以fn(x)在（0，）內(nèi)單調(diào)遞增， 因此，fn(x)在（0，）內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)an, 由于fn(x)=-1, 所以0=fn(an)=-1, 由此可得an=+ann+1>,故<an<, 繼而得0<an-=ann+1<x()n+1=x()n

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C：+=1,(ab0)的離心率為，點(diǎn)（2，）在C上
（1）求C的方程；
（2）直線l不經(jīng)過原點(diǎn)O,且不平行于坐標(biāo)軸,l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,線段AB中點(diǎn)為M,證明：直線OM的斜率與直線l的斜率乘積為定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】(2015·湖南）某商場舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，顧客購買一定金額商品后即可抽獎(jiǎng)，每次抽獎(jiǎng)都從裝有4個(gè)紅球、6個(gè)白球的甲箱和裝有5個(gè)紅球、5個(gè)白球的乙箱中，各隨機(jī)摸出1個(gè)球，在摸出的2個(gè)球中，若都是紅球，則獲一等獎(jiǎng)；若只有1個(gè)紅球，則獲二等獎(jiǎng)；若沒有紅球，則不獲獎(jiǎng)，求下列問題：（1）求顧客抽獎(jiǎng)1次能獲獎(jiǎng)的概率（2）若某顧客有3次抽獎(jiǎng)機(jī)會，記該顧客在3次抽獎(jiǎng)中獲一等獎(jiǎng)的次數(shù)為 X ，求 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望.
（1）（1）求顧客抽獎(jiǎng)1次能獲獎(jiǎng)的概率
（2）（2）若某顧客有3次抽獎(jiǎng)機(jī)會，記該顧客在3次抽獎(jiǎng)中獲一等獎(jiǎng)的次數(shù)為 ， 求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】(2015·四川）已知函數(shù)f(x)=2x ， g(x)=x2+ax（其中aR）.對于不相等的實(shí)數(shù)x1, x2 ， 設(shè)m=，n=.
現(xiàn)有如下命題：
（1）對于任意不相等的實(shí)數(shù)x1, x2 ， 都有m>0；
（2）對于任意的a及任意不相等的實(shí)數(shù)x1, x2 ， ，都有n>0；
（3）對于任意的a ， 存在不相等的實(shí)數(shù)x1, x2 ， 使得m=n；
（4）對于任意的a ， 存在不相等的實(shí)數(shù)x1, x2 ， 使得m=-n.
其中的真命題有 （寫出所有真命題的序號）.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】(2015·陜西）“sin=cos”是“cos2=0”的（ ）
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充分必要條件
D.既不充分也不必要條件

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】(2015·陜西）在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，c的極坐標(biāo)方程為=2sin ．
（1）寫出c的直角坐標(biāo)方程；
（2）P為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P到圓心C的距離最小時(shí)，求P的直角坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】(2015·江蘇）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1 ， 設(shè)AB1的中點(diǎn)為D，B1CBC1=E.求證:

（1）DE∥平面AA1C1C
（2）BC1⊥AB1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓（a＞b＞0）過點(diǎn)（0，），且離心率為。

(Ⅰ)求橢圓E的方程；
（II）設(shè)直線x my 1,(m R)交橢圓E與A,B兩點(diǎn)，判斷點(diǎn)G（-,0）與以線段AB為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù),.
（1）（I）求的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）（II）證明：若存在零點(diǎn)，則的區(qū)間（1，]上僅有一個(gè)零點(diǎn)。

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