Question

．已知函數(shù)，若存在使得恒成立，則稱是的一個“下界函數(shù)” ．

（I）如果函數(shù)（為實數(shù)）為的一個“下界函數(shù)”，求的取值范圍；

（II）設函數(shù)，試問函數(shù)是否存在零點，若存在，求出零點個數(shù)；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）   ；（Ⅱ）函數(shù)不存在零點.

【解析】（I）本小題實質是恒成立，即恒成立，然后利用導數(shù)的最小值即可.

(II)在（I）的基礎上，可知，

,然后再構造函數(shù),利用導數(shù)研究其最小值為,從而可知,從而證明F（x）無零點.

（Ⅰ）恒成立，，，     ……………2分

令，則，                   ……………4分

當時，，在上是減函數(shù)，當時，，在上是增函數(shù)，                                  ……………6分

                          ……………7分

（Ⅱ）由（I）知，①，

，                ……………10分

令，則，                       ……………12分

則時，， 上是減函數(shù)，時，，

上是增函數(shù)，

②，                                     ……………14分

，①②中等號取到的條件不同，，函數(shù)不存在零點.                         ……………15分