Question

節(jié)日期間，高速公路車輛較多，某調查公司在一服務區(qū)從七座以下小型汽車中按進服務區(qū)的順序，隨機抽取第一輛汽車后，每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進行詢問調查，將他們在某段高速公路的車速（km/h）分成六段[80，85），[85，90），[90，95），[95，100），[100，105），[105，110）后得到如下圖的頻率分布直方圖．
（Ⅰ）請直接回答這種抽樣方法是什么抽樣方法？并估計出這40輛車速的中位數(shù)；
（Ⅱ）設車速在[80，85）的車輛為A₁，A₂，…，A_n（m為車速在[80，85）上的頻數(shù)），車速在[85，90）的車輛為B₁，B₂，…，B_n（n為車速在[85，90）上的頻數(shù)），從車速在[80，90）的車輛中任意抽取2輛共有幾種情況？請列舉出所有的情況，并求抽取的2輛車的車速都在[85，90）上的概率．

Answer 1

考點：古典概型及其概率計算公式,眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（I）這個抽樣是按進服務區(qū)的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進行詢問調查，是一個具有相同間隔的抽樣，并且總體的個數(shù)比較多，這是一個系統(tǒng)抽樣；求出從左邊開始小矩形的面積和為0.5對應的橫軸的左邊即為中位數(shù)；
（II）從圖中可知，車速在[80，85）的車輛數(shù)和車速在[85，90）的車輛數(shù)．從車速在[80，90）的車輛中任抽取2輛，設車速在[80，85）的車輛設為a，b，車速在[85，90）的車輛設為c，d，e，f，列出各自的基本事件數(shù)，從而求出相應的概率即可．

解答： 解：（Ⅰ）由題意知這個抽樣是按進服務區(qū)的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進行詢問調查，
是一個具有相同間隔的抽樣，并且總體的個數(shù)比較多，這是一個系統(tǒng)抽樣．
故調查公司在采樣中，用到的是系統(tǒng)抽樣，（2分）
設圖中虛線所對應的車速為x，則中位數(shù)的估計值為：
0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×（x-95）=0.5，
解得x=97.5，即中位數(shù)的估計值為97.5                （6分）
 （Ⅱ）由（Ⅰ）得m₁=0.01×5×40=2（輛），（7分）
m₂=0.02×5×40=4（輛）．    …（8分）
∴所以車速在[80，90）的車輛中任意抽取2輛的所有情況是：
（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），
（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），
（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f），共有15種情況．                                …（10分）
車速都在[85，90）上的2輛車的情況有6種．
所以車速都在[85，90）上的2輛車的概率是

6

15

=

2

5

．                        …（12分）

點評：解決頻率分布直方圖的有關特征數(shù)問題，利用眾數(shù)是最高矩形的底邊中點；中位數(shù)是左右兩邊的矩形的面積相等的底邊的值；平均數(shù)等于各個小矩形的面積乘以對應的矩形的底邊中點的和．此題把統(tǒng)計和概率結合在一起，比較新穎，也是高考的方向，應引起重視．