Question

定義在[-1，1]上的函數(shù)f（x）滿足f（1）=1，且當a，b∈[-1，1]時，都有af（a）+bf（b）＞af（b）+bf（a）；
（1）判斷f（x）在[-1，1]上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論．
（2）若f（x）是奇函數(shù)，不等式mf（x）≤m²+m-3對所有的x∈[-1，1]恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)-1≤x₁＜x₂≤1，令a=x₂，b=x₁，則x₂f（x₂）+x₁f（x₁）＞x₂f（x₁）+x₁f（x₂），所以（x₂-x₁）f（x₂）+（x₁-x₂）f（x₁）＞0，由此能夠證明f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)．
（2）當m=0時，0≤-3不成立；當m＞0時，f（x）≤f（1）=1，mf（x）≤m，所以m≥

3

；當m＜0時，mf（x）≤-m，m≤-3．

解答：（1）證明：設(shè)-1≤x₁＜x₂≤1，令a=x₂，b=x₁，
則x₂f（x₂）+x₁f（x₁）＞x₂f（x₁）+x₁f（x₂）
∴（x₂-x₁）f（x₂）+（x₁-x₂）f（x₁）＞0，
∴（x₂-x₁）[f（x₂）-f（x₁）]＞0
∵x₂-x₁＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)．
（2）當m=0時，0≤-3不成立（舍去）
當m＞0時，∵f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)，
∴f（x）≤f（1）=1
∴mf（x）≤m
∴

m＞0 m2+m-3≥m

∴m≥

3

當m＜0時，∵f（x）是奇函數(shù)，
∴f（-1）=-f（1）=-1，
∴-1≤f（x）≤1，
∴mf（x）≤-m
∴

m＜0 m2+m-3≥-m

∴m≤-3
綜上所述：m≥

3

或m≤-3．

點評：本題考查函數(shù)的恒成立問題，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．