Question

如圖，正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直，EF∥BD，AB＝EF.
(1)求證：BF∥平面ACE；
(2)求證：BF⊥BD.

Answer 1

(1)詳見解析， (2) 詳見解析.

試題分析：(1) 證明線面平行，需先證線線平行. 正方形ABCD中，BO＝AB，又因為AB＝EF，∴BO＝EF，又因為EF∥BD，∴EFBO是平行四邊形，∴BF∥EO，又∵BF?平面ACE，EO?平面ACE，∴BF∥平面ACE.列線面平行判定定理的條件必須要全面. (2)證明線線垂直，一般利用線面垂直進行轉(zhuǎn)化.條件為面面垂直，所以先由面面垂直性質(zhì)定理轉(zhuǎn)化為線面垂直：正方形ABCD中，AC⊥BD，又因為正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直，BD?平面ABCD，平面ABCD∩平面ACE＝AC，∴BD⊥平面ACE，∵EO?平面ACE，∴BD⊥EO，∵EO∥BF，∴BF⊥BD.
證明　(1)AC與BD交于O點，連接EO.
正方形ABCD中，BO＝AB，又因為AB＝EF，
∴BO＝EF，又因為EF∥BD，
∴EFBO是平行四邊形，
∴BF∥EO，又∵BF?平面ACE，EO?平面ACE，
∴BF∥平面ACE            7分
(2)正方形ABCD中，AC⊥BD，又因為正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直，BD?平面ABCD，平面ABCD∩平面ACE＝AC，
∴BD⊥平面ACE，∵EO?平面ACE，
∴BD⊥EO，∵EO∥BF，∴BF⊥BD.                  14分