Question

已知拋物線C：y²=4x，直線l：x+y+m=0與拋物線交于A、B兩點(diǎn)．
（1）若m=-1，求弦AB的長；
（2）若P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）、R（x₃，y₃）是拋物線C上的三點(diǎn)，且直線PQ、QR、RP的斜率成等差數(shù)列，求證：x₂、x₁、x₃成等差數(shù)列；
（3）在拋物線C上是否存在一個(gè)定點(diǎn)P，使得直線PA、PB的斜率互為相反數(shù)，若存在，求出點(diǎn)P；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將直線l：x+y-1=0與拋物線方程聯(lián)立，消元可得y²+4y-4=0，由此可求弦AB的長；
（2）直線PQ、QR、RP的斜率分別為

y2-y1

x2-x1

，

y3-y2

x3-x2

，

y3-y1

x3-x1

，利用直線PQ、QR、RP的斜率成等差數(shù)列，建立方程，利用P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）、R（x₃，y₃）是拋物線C上的三點(diǎn)可得y12=4x1，y22=4x2，y32=4x3，將它們分別相減，整理可得

y2-y1

x2-x1

=

4

y2+y1

，

y3-y2

x3-x2

=

4

y3+y2

，

y3-y1

x3-x1

=

4

y3+y1

，從而可知x₂、x₁、x₃成等差數(shù)列；
（3）設(shè)存在一個(gè)定點(diǎn)P（x₁，y₁），使得直線PA、PB的斜率互為相反數(shù)，設(shè)A（x₂，y₂）、B（x₃，y₃），則直線PA、PB的斜率分別為：

y2-y1

x2-x1

，

y3-y1

x3-x1

，從而可得2y₁+y₂+y₃=0，進(jìn)而可得存在點(diǎn)P（1，2），使得直線PA、PB的斜率互為相反數(shù)．

解答：（1）解：將直線l：x+y-1=0與拋物線方程聯(lián)立，消元可得y²+4y-4=0
∴y=-2+2

2

或-2-2

2

，∴x=3-2

2

或3+2

2

∴弦AB的長為

32+32

=8
（2）證明：直線PQ、QR、RP的斜率分別為

y2-y1

x2-x1

，

y3-y2

x3-x2

，

y3-y1

x3-x1

∵直線PQ、QR、RP的斜率成等差數(shù)列
∴2×

y3-y2

x3-x2

=

y2-y1

x2-x1

+

y3-y1

x3-x1

∵P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）、R（x₃，y₃）是拋物線C上的三點(diǎn)
∴y12=4x1，y22=4x2，y32=4x3
將它們分別相減，整理可得

y2-y1

x2-x1

=

4

y2+y1

，

y3-y2

x3-x2

=

4

y3+y2

，

y3-y1

x3-x1

=

4

y3+y1

∴2×

4

y3+y2

=

4

y2+y1

+

4

y3+y1

∴y12-y32=y22-y12
∴4x₁-4x₃=4x₂-4x₁
∴x₁-x₃=x₂-x₁
∴x₂、x₁、x₃成等差數(shù)列；
（3）解：設(shè)存在一個(gè)定點(diǎn)P（x₁，y₁），使得直線PA、PB的斜率互為相反數(shù)，設(shè)A（x₂，y₂）、B（x₃，y₃），則
直線PA、PB的斜率分別為：

y2-y1

x2-x1

，

y3-y1

x3-x1

∴

y2-y1

x2-x1

+

y3-y1

x3-x1

=0
∴

4

y2+y1

+

4

y3+y1

=0
∴2y₁+y₂+y₃=0
由（1）知，y₂+y₃=-4，∴2y₁-4=0，∴y₁=2，∴x₁=1
∴存在點(diǎn)P（1，2），使得直線PA、PB的斜率互為相反數(shù)．

點(diǎn)評：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查數(shù)列與解析幾何的綜合，考查直線的斜率，綜合性強(qiáng)．