【題目】已知函數(shù)f(x)是定義在R上不恒為0的函數(shù),且對于任意的實數(shù)a,b滿足f(2)=2,f(ab)=af(b)+bf(a),an= (n∈N*),bn= (n∈N*),給出下列命題:
①f(0)=f(1);
②f(x)為奇函數(shù);
③數(shù)列{an}為等差數(shù)列;
④數(shù)列{bn}為等比數(shù)列.
其中正確的命題是 . (寫出所有正確命題的序號)
【答案】①②③④
【解析】解:∵取a=b=0,可得f(0)=0,
取a=b=1,可得f(1)=2f(1),即f(1)=0,
∴f(0)=f(1),
即①正確;
令a=b=﹣1,則f(1)=﹣f(﹣1)﹣f(﹣1)=0f(﹣1)=0,
令a=﹣1,則f(﹣b)=﹣f(b)+bf(﹣1)=﹣f(b)f(x)為奇函數(shù),
即②正確;
∵f(ab)=af(b)+bf(a),
∴f(2n)=f(22n﹣1)=2f(2n﹣1)+2n﹣1f(2)
=2f(2n﹣1)+2n=…=n2n ,
∴an= =n,bn= =2n ,
即有③④正確.
所以答案是:①②③④.
【考點精析】通過靈活運用數(shù)列的通項公式,掌握如果數(shù)列an的第n項與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示,那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式即可以解答此題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1, 中, ,點為線段的四等分點,線段互相平行,現(xiàn)沿折疊得到圖2所示的幾何體,此幾何體的底面為正方形.
(1)證明: 四點共面;(2)求四棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為: (t為參數(shù),其中0<α< ),橢圓M的參數(shù)方程為 (β為參數(shù)),圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x﹣1)2+y2=1.
(1)寫出橢圓M的普通方程;
(2)若直線l為圓C的切線,且交橢圓M于A,B兩點,求弦AB的長.
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【題目】對定義在[0,1]上,并且同時滿足以下兩個條件的函數(shù)f(x)稱為M函數(shù):
(i)對任意的x∈[0,1],恒有f(x)≥0;
(ii)當(dāng)x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1時,總有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立.
則下列四個函數(shù)中不是M函數(shù)的個數(shù)是( )
①f(x)=x2②f(x)=x2+1
③f(x)=ln(x2+1)④f(x)=2x﹣1.
A.1
B.2
C.3
D.4
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【題目】函數(shù)y=log (x2﹣2x)的單調(diào)遞增區(qū)間是( )
A.(﹣∞,0)
B.(﹣∞,1)
C.(2,+∞)
D.(1,+∞)
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【題目】已知無窮數(shù)列的首項, .
(Ⅰ)證明: ;
(Ⅱ) 記, 為數(shù)列的前項和,證明:對任意正整數(shù), .
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【題目】設(shè)a,b∈R,且a≠2,定義在區(qū)間(﹣b,b)內(nèi)的函數(shù)f(x)=lg 是奇函數(shù).
(1)求a的值;
(2)求b的取值范圍;
(3)用定義討論并證明函數(shù)f(x)的單調(diào)性.
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【題目】紅隊隊員甲、乙、丙與藍隊隊員A、B、C進行圍棋比賽,甲對A,乙對B,丙對C各一盤,已知甲勝A,乙勝B,丙勝C的概率分別為0.6,0.5,0.5,假設(shè)各盤比賽結(jié)果相互獨立.
(1)求紅隊至少兩名隊員獲勝的概率;
(2)用ξ表示紅隊隊員獲勝的總盤數(shù),求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ.
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