【題目】已知橢圓C: + =1(a>b>0)的離心率為 ,以原點(diǎn)為圓心,橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線 x﹣ y+12=0相切.
(1)求橢圓C的方程,
(2)設(shè)A(﹣4,0),過點(diǎn)R(3,0)作與x軸不重合的直線L交橢圓C于P,Q兩點(diǎn),連接AP,AQ分別交直線x= 于M,N兩點(diǎn),若直線MR、NR的斜率分別為k1 , k2 , 試問:k1 k2是否為定值?若是,求出該定值,若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】
(1)解:由題意得e= = ,a2﹣b2=c2,

以原點(diǎn)為圓心,橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線 x﹣ y+12=0相切,

可得d═ =b,解得a=4,b=2 ,c=2,

故橢圓C的方程為 =1;


(2)解:設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),

直線PQ的方程為x=my+3,代入橢圓方程3x2+4y2=48,

得(4+3m2)y2+18my﹣21=0,

∴y1+y2=﹣ ,y1y2=﹣ ,

由A,P,M三點(diǎn)共線可知, = ,即yM= ;

同理可得yN=

所以k1k2= =

因?yàn)椋▁1+4)(x2+4)=(my1+7)(my2+7=m2y1y2+7m(y1+y2)+49,

所以k1k2= =﹣

即k1k2為定值﹣


【解析】(1)運(yùn)用橢圓的離心率公式和直線與圓相切的條件,解方程可得a,b的值,進(jìn)而得到橢圓方程;(2)設(shè)P(x1 , y1),Q(x2 , y2),直線PQ的方程為x=my+3,代入橢圓方程,運(yùn)用韋達(dá)定理和三點(diǎn)共線斜率相等,運(yùn)用直線的斜率公式,化簡(jiǎn)整理,即可得到定值.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案,需要掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸:,焦點(diǎn)在y軸:

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A.
B.
C.
D.

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(1)若△AOB是邊長(zhǎng)為2 的正三角形,求拋物線C1的方程;
(2)若AF⊥OF,求橢圓C2的離心率e;
(3)點(diǎn)P為橢圓C2上的任一點(diǎn),若直線AP、BP分別與x軸交于點(diǎn)M(m,0)和N(n,0),證明:mn=a2

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A.
B.
C.
D.

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