【題目】【2017屆廣東省深圳市高三下學(xué)期第一次調(diào)研考試(一模)數(shù)學(xué)理】已知函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)求曲線在處的切線方程;
(2)關(guān)于的不等式在上恒成立,求實(shí)數(shù)的值;
(3)關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)根,求證:.
【答案】(1);(2); (3)見(jiàn)解析.
【解析】(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得,
∴,
又,
∴曲線在處的切線方程為,即;
(2)記,其中,
由題意知在上恒成立,下求函數(shù)的最小值,
對(duì)求導(dǎo)得,
令,得,
當(dāng)變化時(shí),變化情況列表如下:
- | 0 | + | |
極小值 |
∴,
∴,
記,則,
令,得.
當(dāng)變化時(shí),變化情況列表如下:
1 | |||
+ | 0 | - | |
極大值 |
∴,
故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),
又,從而得到;
(3)先證,
記,則,
令,得,
當(dāng)變化時(shí),變化情況列表如下:
- | 0 | + | |
極小值 |
∴,
恒成立,即,
記直線分別與交于,
不妨設(shè),則,
從而,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),
由(2)知,,則,
從而,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),
故,
因等號(hào)成立的條件不能同時(shí)滿(mǎn)足,故.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫(huà)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí),列表并填入的數(shù)據(jù)如下表:
x | x1 | x2 | x3 | ||
ωx+φ | 0 | π | 2π | ||
Asin(ωx+φ) | 0 | 2 | 0 | -2 | 0 |
(1)求x1,x2,x3的值及函數(shù)f(x)的表達(dá)式;
(2)將函數(shù)f(x)的圖象向左平移π個(gè)單位,可得到函數(shù)g(x)的圖象,求函數(shù)y=f(x)·g(x)在區(qū)間的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若曲線在處的切線方程為,求的單調(diào)區(qū)間;
(2)若時(shí), 恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)等差數(shù)列的公差,且,記
(1)用分別表示,并猜想;
(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與圓: 交于M,N兩點(diǎn).
(Ⅰ)設(shè)線段MN的中點(diǎn)為P,求點(diǎn)P的軌跡方程;
(Ⅱ)若,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】【2016年高考四川理數(shù)】設(shè)函數(shù)f(x)=ax2-a-lnx,其中a ∈R.
(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)確定a的所有可能取值,使得在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)恒成立(e=2.718…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,P,M,N分別為棱DD1,AB,BC的中點(diǎn).
(1)求二面角B1-MN-B的正切值.
(2)求證:PB⊥平面MNB1.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某公司為了適應(yīng)市場(chǎng)需求對(duì)產(chǎn)品結(jié)構(gòu)做了重大調(diào)整,調(diào)整后初期利潤(rùn)增長(zhǎng)迅速,之后增長(zhǎng)越來(lái)越慢,若要建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來(lái)反映該公司調(diào)整后利潤(rùn)與時(shí)間的關(guān)系,可選用( )
A. 一次函數(shù) B. 二次函數(shù) C. 指數(shù)型函數(shù) D. 對(duì)數(shù)型函數(shù)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】社會(huì)調(diào)查人員希望從對(duì)人群的隨機(jī)抽樣調(diào)查中得到對(duì)他們所提問(wèn)題誠(chéng)實(shí)的回答,但是被采訪者常常不愿意如實(shí)做出應(yīng)答.
1965年Stanley·L.Warner發(fā)明了一種應(yīng)用概率知識(shí)來(lái)消除這種不愿意情緒的方法.Warner的隨機(jī)化應(yīng)答方法要求人們隨機(jī)地回答所提問(wèn)題中的一個(gè),而不必告訴采訪者回答的是哪個(gè)問(wèn)題,兩個(gè)問(wèn)題中有一個(gè)是敏感的或者是令人為難的,另一個(gè)是無(wú)關(guān)緊要的,這樣應(yīng)答者將樂(lè)意如實(shí)地回答問(wèn)題,因?yàn)橹挥兴雷约夯卮鸬氖悄膫(gè)問(wèn)題.
假如在調(diào)查運(yùn)動(dòng)員服用興奮劑情況的時(shí)候,無(wú)關(guān)緊要的問(wèn)題是:你的身份證號(hào)碼的尾數(shù)是奇數(shù)嗎;敏感的問(wèn)題是:你服用過(guò)興奮劑嗎.然后要求被調(diào)查的運(yùn)動(dòng)員擲一枚硬幣,如果出現(xiàn)正面,就回答第一個(gè)問(wèn)題,否則回答第二個(gè)問(wèn)題.
例如我們把這個(gè)方法用于200個(gè)被調(diào)查的運(yùn)動(dòng)員,得到56個(gè)“是”的回答,請(qǐng)你估計(jì)這群運(yùn)動(dòng)員中大約有百分之幾的人服用過(guò)興奮劑.
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