【題目】【2018衡水金卷（三）】如圖所示，在三棱錐中，平面平面， ， ， ， ．

（I）證明： 平面；

（II）若二面角的平面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值．

【答案】（I）見解析；（II）直線與平面所成角的正弦值為．

【解析】【試題分析】（1）用余弦定理求得，故三角形為直角三角形，即，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可知平面，所以，結(jié)合可得平面.（2）過點(diǎn)作，垂足為，連接.易證得即為直線與平面所成的角.計(jì)算的的長(zhǎng)度，兩者相比即得到所求線面角的正弦值為

【試題解析】

（1）在中，因?yàn)?/span>， ， ，

所以由余弦定理，可知

，

所以.故，即有.

又因?yàn)槠矫?/span>平面，且平面平面， 平面，

所以平面.又平面，所以.

又因?yàn)?/span>， ，所以平面.

（2）過點(diǎn)作，垂足為，連接.

由（1），知平面， 平面，

所以.又，所以平面，

因此即為直線與平面所成的角.

又由（1）的證明，可知平面，

又平面， 平面，所以， ，

故即為二面角的平面角，即.

故在中，由，得.

在中， ，

且 .

因此在中，得，

故直線與平面所成角的正弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形， ， ，平面底面， 為的中點(diǎn)， 是棱上的點(diǎn)， ， ， .

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）若異面直線與所成角的余弦值為，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】下列說法正確的是（ ）

①設(shè)某大學(xué)的女生體重與身高具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)，用最小二乘法建立的線性回歸方程為 ，則若該大學(xué)某女生身高增加，則其體重約增加；

②關(guān)于的方程的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；

③過定圓上一定點(diǎn)作圓的動(dòng)弦，為原點(diǎn)，若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓；

④已知是橢圓的左焦點(diǎn)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)在橢圓上，若直線的斜率大于，則直線（為原點(diǎn)）的斜率的取值范圍是.

A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】中華民族是一個(gè)傳統(tǒng)文化豐富多彩的民族，各民族有許多優(yōu)良的傳統(tǒng)習(xí)俗，如過大年吃餃子，元宵節(jié)吃湯圓，端午節(jié)吃粽子，中秋節(jié)吃月餅等等，讓人們感受到濃濃的節(jié)目味道，某家庭過大年時(shí)包有大小和外觀完全相同的肉餡餃子、蛋餡餃子和素餡餃子，一家4口人圍坐在桌旁吃年夜飯，當(dāng)晚該家庭吃餃子時(shí)每盤中混放8個(gè)餃子，其中肉餡餃子4個(gè)，蛋餡餃子和素餡餃子各2個(gè)，若在桌上上一盤餃子大家共同吃，記每個(gè)人第1次夾起的餃子中肉餡餃子的個(gè)數(shù)為，若每個(gè)人各上一盤餃子，記4個(gè)人中第1次夾起的是肉餡餃子的人數(shù)為，假設(shè)每個(gè)人都吃餃子，且每人每次都是隨機(jī)地從盤中夾起餃子.

（1）求隨機(jī)變量的分布列；

（2）若的數(shù)學(xué)期望分別記為、，求.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某產(chǎn)品生產(chǎn)廠家生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每生產(chǎn)這種產(chǎn)品 （百臺(tái)），其總成本為萬元，其中固定成本為42萬元，且每生產(chǎn)1百臺(tái)的生產(chǎn)成本為15萬元總成本固定成本生產(chǎn)成本銷售收入萬元滿足，假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡即生產(chǎn)的產(chǎn)品都能賣掉，根據(jù)上述條件，完成下列問題：

寫出總利潤函數(shù)的解析式利潤銷售收入總成本；

要使工廠有盈利，求產(chǎn)量的范圍；

工廠生產(chǎn)多少臺(tái)產(chǎn)品時(shí)，可使盈利最大？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，且．

（1）求實(shí)數(shù)的值；

（2）判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性的定義證明；

（3）求實(shí)數(shù)的取值范圍，使得關(guān)于的方程分別為：

①有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解；②有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解；③有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)，，其中．

（1）若是關(guān)于的不等式的解，求的取值范圍；

（2）求函數(shù)在上的最小值；

（3）若對(duì)任意的，不等式恒成立，求的取值范圍；

（4）當(dāng)時(shí)，令，試研究函數(shù)的單調(diào)性，求在該區(qū)間上的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)，求在區(qū)間上的最大值；

（3）證明：對(duì)，不等式成立.（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知定義域?yàn)?/span>的函數(shù)是奇函數(shù).

（1）求a，b的值；

（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用定義證明；

（3）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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