Question

12．已知函數(shù)f（x）=lnx-x．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間及最大值；
（2）若數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為${a_n}=1+\frac{1}{2^n}（{n∈{N^*}}）$，試結(jié)合（1）中有關(guān)結(jié)論證明：a₁•a₂•a₃…a_n＜e（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值即可；
（2）根據(jù)ln x≤x-1，得到ln a_n=ln（1+$\frac{1}{2n}$）＜$\frac{1}{2n}$，累加即可．

解答 （1）解：因f（x）=ln x-x，所以f′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$．
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＜0．
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+∞）；
f（x）的最大值為-1…（6分）
（2）證明：由（1）知，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）≤f（1）=-1，
即ln x≤x-1．當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)才能取等號．
因?yàn)閍_n=1+$\frac{1}{2n}$（n∈N^*），a_n大于零且不等于1，
所以ln a_n=ln（1+$\frac{1}{2n}$）＜$\frac{1}{2n}$．
令k=1，2，3，…+，n，這n個(gè)式子相加得：
ln a₁+ln a₂+…+ln a_n＜$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{22}$+$\frac{1}{23}$+…$\frac{1}{2n}$=1-$\frac{1}{2n}$＜1．
即ln （a₁a₂a₃…+a_n）＜1，所以a₁a₂a₃…a_n＜e…（12分）

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，是一道中檔題．