Question

（07年江西卷理）（14分）

設(shè)正整數(shù)數(shù)列滿足：，且對(duì)于任何，有．

（1）求，；

（2）求數(shù)列的通項(xiàng)．

Answer 1

解析：（1）據(jù)條件得    ①

當(dāng)時(shí)，由，即有，

解得．因?yàn)?IMG height=24 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090325/20090325112340006.gif' width=16>為正整數(shù)，故．

當(dāng)時(shí)，由，

解得，所以．

（2）方法一：由，，，猜想：．

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．

1當(dāng)，時(shí)，由（1）知均成立；

2假設(shè)成立，則，則時(shí)

由①得

因?yàn)?IMG height=19 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090325/20090325112342022.gif' width=41>時(shí)，，所以．

，所以．

又，所以．

故，即時(shí)，成立．

由1，2知，對(duì)任意，．

（2）方法二：

由，，，猜想：．

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．

1當(dāng)，時(shí)，由（1）知均成立；

2假設(shè)成立，則，則時(shí)

由①得

即　　　　　�、�

由②左式，得，即，因?yàn)閮啥藶檎麛?shù)，

則．于是　　　�、�

又由②右式，．

則．

因?yàn)閮啥藶檎麛?shù)，則，

所以．

又因時(shí)，為正整數(shù)，則　　　�、�

據(jù)③④，即時(shí)，成立．

由1，2知，對(duì)任意，．