(2011•東城區(qū)二模)在單調(diào)遞增數(shù)列{an}中,a1=2,不等式(n+1)an≥na2n對(duì)任意n∈N*都成立.
(Ⅰ)求a2的取值范圍;
(Ⅱ)判斷數(shù)列{an}能否為等比數(shù)列?說明理由;
(Ⅲ)設(shè)bn=(1+1)(1+
1
2
)…(1+
1
2n
)
,cn=6(1-
1
2n
)
,求證:對(duì)任意的n∈N*,
bn-cn
an-12
≥0
分析:(Ⅰ)根據(jù){an}為單調(diào)遞增數(shù)列,a1=2,在不等式(n+1)an≥na2n中令n=1即可求a2的取值范圍;
(Ⅱ)可用反證法證明:假設(shè)數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列,可得an=2qn-1根據(jù){an}為單調(diào)遞增數(shù)列,可求得q>1,由(n+1)an≥na2n對(duì)任意n∈N*都成立,利用等比數(shù)列的性質(zhì)可得1+
1
n
≥qn①,因?yàn)閝>1,所以?n0∈N*,使得當(dāng)n≥n0時(shí),qn>2,從而1+
1
n
>2,與1+
1
n
≤2矛盾,于是可判斷數(shù)列{an}不能為等比數(shù)列;
(Ⅲ)對(duì)于
bn-cn
an-12
≥0
的分子部分,可根據(jù)b1=c1=3,結(jié)合已知條件,求得b2,c2;b3,c3通過比較兩者的大小,猜想bn≤cn.然后用數(shù)學(xué)歸納法予以證明;對(duì)于其分母,可結(jié)合條件證明an<12,從而是問題得到解決.
解答:解:(Ⅰ)∵{an}是單調(diào)遞增數(shù)列,
∴a2>a1,a2>2.
令n=1,2a1≥a2,a2≤4,
∴a2∈(2,4].(4分)
(Ⅱ)證明:數(shù)列{an}不能為等比數(shù)列.
用反證法證明:
假設(shè)數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列,a1=2>0,an=2qn-1
因?yàn)閧an}單調(diào)遞增,所以q>1.
因?yàn)閚∈N*,(n+1)an≥na2n都成立.
所以n∈N*1+
1
n
≥qn
因?yàn)閝>1,所以?n0∈N*,使得當(dāng)n≥n0時(shí),qn>2.
因?yàn)?span id="rdxhntp" class="MathJye">1+
1
n
≤2(n∈N*).
所以?n0∈N*,當(dāng)n≥n0時(shí),qn>1+
1
n
,與①矛盾,故假設(shè)不成立.(9分)
(Ⅲ)證明:觀察:b1=c1=3,b2=
15
4
c2=
9
2
,b3=
135
32
c3=
21
4
,…,猜想:bn≤cn
用數(shù)學(xué)歸納法證明:
(1)當(dāng)n=1時(shí),b1=3≤c1=3成立;
(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),bk≤ck成立;
當(dāng)n=k+1時(shí),
bk+1=bk(1+
1
2k+1
)
ck(1+
1
2k+1
)
=6(1-
1
2k
)
(1+
1
2k+1
)
=6(1+
1
2k+1
-
1
2k
-
1
22k+1
)
=6(1-
1
2k+1
-
1
22k+1
)
<6(1-
1
2k+1
)
=ck+1
所以bk+1≤ck+1
根據(jù)(1)(2)可知,對(duì)任意n∈N*,都有bn≤cn,即bn-cn≤0.
由已知得,a2n≤(1+
1
n
)an

所以a2n≤(1+
1
2n-1
)a2n-1≤…≤
(1+
1
2n-1
)…(1+
1
2
)(1+1)a1

所以當(dāng)n≥2時(shí),a2n≤2bn-1≤2cn-1=12(1-
1
2n-1
)
<12.
因?yàn)閍2<a4<12.
所以對(duì)任意n∈N*,a2n<12
對(duì)任意n∈N*,存在m∈N*,使得n<2m,
因?yàn)閿?shù)列{an}單調(diào)遞增,
所以ana2m<12,an-12<0.
因?yàn)閎n-cn≤0,
所以
bn-cn
an-12
≥0
.(14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查反證法與放縮法,數(shù)學(xué)歸納法及數(shù)列與不等式的綜合,難點(diǎn)在于(Ⅱ)反證法的使用與(Ⅲ)中
bn-cn
an-12
≥0
需分別從分子與分母兩處著手,用數(shù)學(xué)歸納法證明bn≤cn,用放縮法證明an-12<0,屬于難題.
練習(xí)冊系列答案
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-
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9
9
;若從調(diào)查小組中的公務(wù)員和教師中隨機(jī)選2人撰寫調(diào)查報(bào)告,則其中恰好有1人來自公務(wù)員的概率為
3
5
3
5

相關(guān)人員數(shù) 抽取人數(shù)
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教師 48 y
自由職業(yè)者 64 4

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x-y-4≤0
x+y-3≤0
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4
4

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