分析 (1)由VE-PAD=VP-EAD,能求出三棱錐E-PAD的體積.
(2)法1:推導(dǎo)出PA⊥AB,AF⊥PB,從而B(niǎo)C⊥平面PAB,進(jìn)而B(niǎo)C⊥AF,由AF⊥PB,AF⊥BC,得AF⊥平面PBC,由此能證明AF⊥PE.
法2:建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,利用向量法能證明AF⊥PE.
解答 (本小題(12分),(1)小問(wèn)(6分),(2)小問(wèn)6分)
解:(1)∵PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD為矩形,
∴${S_{△EAD}}=\frac{1}{2}AD•AB=4$,
∴${V_{E-PAD}}={V_{P-EAD}}=\frac{1}{3}{S_{△EAD}}•PA=\frac{8}{3}$…(6分)
證明:(2)證法1:∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AB,
又∵PA=AB=2,且點(diǎn)F是PB的中點(diǎn),∴AF⊥PB,
又PA⊥BC,BC⊥AB,PA∩AB=A,
∴BC⊥平面PAB,…(9分)
又AF?平面PAB,∴BC⊥AF,
由AF⊥PB,AF⊥BC,PB∩BC=B,
∴AF⊥平面PBC,
∵PE?平面PBC,∴AF⊥PE…(12分)
證法2:如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,
則A(0,0,0),P(0,0,2),B(0,2,0),C(4,2,0),…(8分)
∴F(0,1,1),∵點(diǎn)E在邊BC上,設(shè)E(x,2,0)(0≤x≤4),
則 $\overrightarrow{AF}=(0\;,\;1\;,\;1)$,$\overrightarrow{PE}=(x\;,\;2\;,\;-2)$,…(10分)
∴$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{PE}=0$,∴AF⊥PE…(12分)
點(diǎn)評(píng) 本題考查線線垂直的證明,考查三棱錐的體積的求法,是中檔題,考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力,考查轉(zhuǎn)化化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想.
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A. | y=$\frac{5}{3}$x | B. | y=$\frac{3}{5}$x | C. | y=±$\frac{5}{3}$x | D. | y=±$\frac{3}{5}$x |
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A. | [-3,3] | B. | [-9,3] | C. | $[-2-\sqrt{3}\;,\;2-\sqrt{3}]$ | D. | $[-3\sqrt{3}\;,\;3]$ |
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A. | $({\frac{1}{2},\frac{1}{4}})$ | B. | $({\frac{1}{4},\frac{1}{2}})$ | C. | $({\frac{{\sqrt{3}}}{4},0})$ | D. | $({0,\frac{{\sqrt{3}}}{4}})$ |
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A. | $\frac{1}{4}$ | B. | $\frac{7}{8}$ | C. | $\frac{1}{8}$ | D. | $\frac{7}{9}$ |
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