1.如圖,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD為矩形,PA=AB=2,AD=4,點(diǎn)F是PB的中點(diǎn),點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng).
(1)求三棱錐E-PAD的體積;
(2)證明:AF⊥PE.

分析 (1)由VE-PAD=VP-EAD,能求出三棱錐E-PAD的體積.
(2)法1:推導(dǎo)出PA⊥AB,AF⊥PB,從而B(niǎo)C⊥平面PAB,進(jìn)而B(niǎo)C⊥AF,由AF⊥PB,AF⊥BC,得AF⊥平面PBC,由此能證明AF⊥PE.
法2:建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,利用向量法能證明AF⊥PE.

解答 (本小題(12分),(1)小問(wèn)(6分),(2)小問(wèn)6分)
解:(1)∵PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD為矩形,
∴${S_{△EAD}}=\frac{1}{2}AD•AB=4$,
∴${V_{E-PAD}}={V_{P-EAD}}=\frac{1}{3}{S_{△EAD}}•PA=\frac{8}{3}$…(6分)
證明:(2)證法1:∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AB,
又∵PA=AB=2,且點(diǎn)F是PB的中點(diǎn),∴AF⊥PB,
又PA⊥BC,BC⊥AB,PA∩AB=A,
∴BC⊥平面PAB,…(9分)
又AF?平面PAB,∴BC⊥AF,
由AF⊥PB,AF⊥BC,PB∩BC=B,
∴AF⊥平面PBC,
∵PE?平面PBC,∴AF⊥PE…(12分)
證法2:如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,
則A(0,0,0),P(0,0,2),B(0,2,0),C(4,2,0),…(8分)
∴F(0,1,1),∵點(diǎn)E在邊BC上,設(shè)E(x,2,0)(0≤x≤4),
則 $\overrightarrow{AF}=(0\;,\;1\;,\;1)$,$\overrightarrow{PE}=(x\;,\;2\;,\;-2)$,…(10分)
∴$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{PE}=0$,∴AF⊥PE…(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查線線垂直的證明,考查三棱錐的體積的求法,是中檔題,考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力,考查轉(zhuǎn)化化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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11.已知函數(shù)f(x)=|x-2|+|x+1|.
(Ⅰ)解不等式f(x)>4;
(Ⅱ)關(guān)于x的不等式f(x)≥a在R上恒成立,求實(shí)數(shù)a的最大值.

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12.(文科)如圖,在空間四面體ABCD中,若E,F(xiàn),G,H分別是AB,BD,CD,AC的中點(diǎn),
(1)求證:四邊形EFGH是平行四邊形.
(2)求證:BC∥平面EFGH.

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9.雙曲線9y2-25x2=169的漸近線方程是(  )
A.y=$\frac{5}{3}$xB.y=$\frac{3}{5}$xC.y=±$\frac{5}{3}$xD.y=±$\frac{3}{5}$x

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16.已知橢圓的方程為$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$,A是其右頂點(diǎn),B是該橢圓在第一象限部分上的一點(diǎn),且$∠AOB=\frac{π}{4}$,若點(diǎn)C是橢圓上的動(dòng)點(diǎn),則$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{BC}$的取值范圍為( 。
A.[-3,3]B.[-9,3]C.$[-2-\sqrt{3}\;,\;2-\sqrt{3}]$D.$[-3\sqrt{3}\;,\;3]$

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6.已知函數(shù)f(x)=|2x+1|+|2x-3|.
(1)求不等式f(x)≤6的解集;
(2)若對(duì)任意$x∈[-\frac{1}{2},1]$,不等式f(x)≥|2x+a|-4恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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13.已知圓C:x2+y2=1,點(diǎn)P為直線$\frac{x}{4}$+$\frac{y}{2}$=1上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P向圓C引兩條切線PA,PB,A,B為切點(diǎn),則直線AB經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(  )
A.$({\frac{1}{2},\frac{1}{4}})$B.$({\frac{1}{4},\frac{1}{2}})$C.$({\frac{{\sqrt{3}}}{4},0})$D.$({0,\frac{{\sqrt{3}}}{4}})$

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10.如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,平面PAD⊥底面ABCD,且△PAD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,PC=$\sqrt{13}$,M在PC上,且PA∥面MBD.
(1)求證:M是PC的中點(diǎn);
(2)求多面體PABMD的體積.

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11.已知tan(α-β)=$\frac{2}{3}$,tan($\frac{π}{6}$-β)=$\frac{1}{2}$,則tan(α-$\frac{π}{6}$)等于(  )
A.$\frac{1}{4}$B.$\frac{7}{8}$C.$\frac{1}{8}$D.$\frac{7}{9}$

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