Question

【題目】已知函數(shù) 是奇函數(shù)，f（x）=lg（10x+1）+bx是偶函數(shù)．
（1）求a和b的值．
（2）說明函數(shù)g（x）的單調(diào)性；若對任意的t∈[0，+∞），不等式g（t2﹣2t）+g（2t2﹣k）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
（3）設(shè) ，若存在x∈（﹣∞，1]，使不等式g（x）＞h[lg（10a+9）]成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由g（0）=0得，a=1，

則 ，

經(jīng)檢驗(yàn)g（x）是奇函數(shù)，

故a=1，

由f（﹣1）=f（1）得，則 ，

故 ，

經(jīng)檢驗(yàn)f（x）是偶函數(shù)

∴a=1，

（2）解：∵ ，且g（x）在（﹣∞，+∞）單調(diào)遞增，且g（x）為奇函數(shù)．

∴由g（t2﹣2t）+g（2t2﹣k）＞0恒成立，

得g（t2﹣2t）＞﹣g（2t2﹣k）=g（﹣2t2+k），

∴t2﹣2t＞﹣2t2+k，t∈[0，+∞）恒成立

即3t2﹣2t＞k，t∈[0，+∞）恒成立

令F（x）=3t2﹣2t，在[0，+∞）的最小值為

∴

（3）解：h（x）=lg（10x+1），

h（lg（10a+9））=lg[10lg（10a+9）+1]=lg（10a+10）

則由已知得，存在x∈（﹣∞，1]，使不等式g（x）＞lg（10a+10）成立，

而g（x）在（﹣∞，1]單增，

∴

∴

∴

又

又∵

∴

∴

【解析】（1）由函數(shù) 是奇函數(shù)，f（x）=lg（10x+1）+bx是偶函數(shù)，可得g（0）=0，f（﹣1）=f（1），進(jìn)而可得a和b的值．（2）g（x）在（﹣∞，+∞）單調(diào)遞增，且g（x）為奇函數(shù)．若g（t2﹣2t）+g（2t2﹣k）＞0恒成立，則3t2﹣2t＞k，t∈[0，+∞）恒成立，令F（x）=3t2﹣2t，求其最值，可得答案；（3）h（x）=lg（10x+1），若存在x∈（﹣∞，1]，使不等式g（x）＞lg（10a+10）成立，則 ，解得答案．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)單調(diào)性的判斷方法的相關(guān)知識(shí)，掌握單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大��；③作差比較或作商比較，以及對函數(shù)奇偶性的性質(zhì)的理解，了解在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù)；偶數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個(gè)為偶就為偶，兩個(gè)為奇才為奇．