Question

【題目】已知函數(shù) 為偶函數(shù)，且函數(shù)的y=f（x）圖象相鄰的兩條對稱軸間的距離為 ．
（1）求 的值；
（2）將y=f（x）的圖象向右平移 個單位后，再將所得的圖象上個點的橫坐標(biāo)伸長為原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求y=g（x）的單調(diào)區(qū)間，并求其在 上的最值．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)f（x）= sin（ωx+φ）﹣cos（ωx+φ）=2sin（ωx+φ﹣ ），…1分

因為函數(shù)是偶函數(shù)，

所以φ﹣ =kπ+ ，k∈Z，解得：φ=kπ+ ，k∈Z，

∵﹣ ＜φ＜0，

∴φ=﹣ ．

函數(shù)y=f（x）圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為 ，

所以T=π，T= =π，所以ω=2；

f（x）=2sin（2x﹣ ）=﹣2cos2x，…5分

則f（ ）=﹣2cos（2× ）=﹣2cos（ ﹣ ）=﹣

（2）解：由函數(shù)圖象的變換可知，y=g（x）=﹣2cos（ x﹣ ），

由2kπ≤ x﹣ ≤2kπ+π，k∈Z，解得：4kπ+ ≤x≤4kπ+ ，k∈Z，

即函數(shù)y=g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[4kπ+ ，4kπ+ ]k∈Z，

由2kπ+π≤ x﹣ ≤2kπ+2π，k∈Z，解得：4kπ+ ≤x≤4kπ+ ，k∈Z，

即函數(shù)y=g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為：[4kπ+ ，4kπ+ ]k∈Z，

∵x∈ ，

∴結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知：

當(dāng) x﹣ =0，即x= 時，y=g（x）最小值為﹣2

當(dāng) x﹣ =﹣ ，即x=﹣ 時，y=g（x）最大值為0

【解析】（1）通過兩角差的正弦函數(shù)化簡函數(shù)的表達(dá)式，求出函數(shù)的周期，利用函數(shù)是偶函數(shù)求出φ，然后求解 的值．（2）由函數(shù)圖象的變換可求g（x）=﹣2cos（ x﹣ ），利用余弦函數(shù)的單調(diào)性可求y=g（x）的單調(diào)區(qū)間，由x∈ ，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可求最大值．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換的相關(guān)知識，掌握圖象上所有點向左（右）平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點的縱坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象．