Question

各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}中，設(shè)，，且，．
（1）設(shè)，證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)，求集合．

Answer 1

（1）詳見解析，（2）（）．

試題分析：（1）數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，實際就是證明為常數(shù)，首先列出的關(guān)系式，由知消去參數(shù)由，所以①，當時， ②，①-②，得即，，化簡得或（）．因為數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，所以數(shù)列單調(diào)遞減，所以．所以（）．
（2）由（1）知，所以，即．由，得，又時，，所以數(shù)列從第2項開始依次遞減．當時，若，則，與矛盾，所以時，，即．令，則，所以，即存在滿足題設(shè)的數(shù)組（）．當時，若，則不存在；若，則；若時，，（*）式不成立．
【解】（1）當時，，
即，解得．                             2分
由，所以 ①    
當時， ②
①-②，得（），           4分
即，
即，所以，
因為數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，所以數(shù)列單調(diào)遞減，所以．
所以（）．
因為，所以，
所以數(shù)列{bn}是等比數(shù)列．                                   6分
（2）由（1）知，所以，即．
由，得（*）
又時，，所以數(shù)列從第2項開始依次遞減．      8分
（Ⅰ）當時，若，則，
（*）式不成立，所以，即．                  10分
令，則，
所以，即存在滿足題設(shè)的數(shù)組（）．   13分
（Ⅱ）當時，若，則不存在；若，則；
若時，，（*）式不成立．
綜上所述，所求集合為（）．       16分
（注：列舉出一組給2分，多于一組給3分）