Question

1．如圖，在平面四邊形ABCD中，AB=8，AD=5，CD=3$\sqrt{3}$，∠A=60°，∠D=150°，則BC=7．

Answer 1

分析 連接BD，由已知，利用余弦定理可求BD的值，進而可求cos∠ADB的值，利用兩角差的余弦函數(shù)公式可求cos∠CDB的值，進而利用余弦定理即可得解BC的值．

解答 解：如圖，連接BD，由AB=8，AD=5，∠A=60°，
則由余弦定理BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}-2AB•AD•cosA}$=$\sqrt{64+25-2×8×5×\frac{1}{2}}$=7，
可得：cos∠1=$\frac{A{D}^{2}+B{D}^{2}-A{B}^{2}}{2AD•BD}$=$\frac{25+49-64}{2×5×7}$=$\frac{1}{7}$，可得：sin∠1=$\sqrt{1-co{s}^{2}∠1}$=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，
∵CD=3$\sqrt{3}$，∠D=150°，
∴cos∠2=cos（150°-∠2）=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）×$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{2}×\frac{4\sqrt{3}}{7}$=$\frac{3\sqrt{3}}{14}$，
∴BC=$\sqrt{C{D}^{2}+B{D}^{2}-2BD•CD•cos∠2}$=$\sqrt{27+49-2×7×3\sqrt{3}×\frac{3\sqrt{3}}{14}}$=7．
故答案為：7．

點評 本題考查了余弦定理、兩角差的余弦函數(shù)公式在解三角形中的應用，根據(jù)已知條件求cos∠CDB的值是解題關鍵，屬于中檔題．