Question

（2013•河?xùn)|區(qū)二模）已知a，b為常數(shù)，且a≠0，函數(shù)f（x）=-ax+b+axlnx，f（e）=2（e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）求實(shí)數(shù)b的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）由f（e）=2計(jì)算可得b的值；
（2）由（1）可得f（x）=-ax+2+axlnx，故f′（x）=alnx，分類討論：當(dāng)a＞0，a＜0時(shí)，分別令f′（x）＞0，f′（x）＜0解不等式可得對(duì)應(yīng)的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：（1）由f（e）=2可得-ae+b+aelne=b=2，
故實(shí)數(shù)b的值為2；
（2）由（1）可得f（x）=-ax+2+axlnx，
故f′（x）=-a+alnx+ax•

1

x

=alnx，因?yàn)閍≠0，
故①當(dāng)a＞0時(shí)，由f′（x）＞0可得x＞1，由f′（x）＜0可得0＜x＜1；
②當(dāng)a＜0時(shí)，由f′（x）＞0可得0＜x＜1，由f′（x）＜0可得x＞1；
綜上可得：當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1）；
當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+∞），；

點(diǎn)評(píng)：本題考查利導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，涉及分類討論的思想，屬中檔題．