Question

設橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦點分別為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），直線l：x=a²交x軸于點A，且

AF1

=2

AF2

．
（Ⅰ）試求橢圓的方程；
（Ⅱ）過F₁，F(xiàn)₂分別作互相垂直的兩直線與橢圓分別交于D、E、M、N四點（如圖所示），當直線MN的傾斜角為60°時，試求四邊形DMEN面積．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)橢圓的交點得到c的值，根據(jù)向量之間的關系，求出a，b的值，根據(jù)所得的字母系數(shù)的值，寫出橢圓的方程．
（II）根據(jù)直線的傾斜角得到直線的斜率，根據(jù)直線所過的一個點，利用點斜式寫出直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，根據(jù)弦長公式，做出MN的長度和DE的長度，根據(jù)四邊形兩條對角線垂直，做出面積．

解答：解：（I）由題意，|F₁F₂|=2c=2，
∴A（a²，0）
∵

AF1

=2

AF2

．
∴F₂為AF₁的中點
∴a²=3，b²=2
即橢圓方程為

x2

3

+

y2

2

=1
（II）直線MN的傾斜角為60°，直線的斜率是

3

∴直線的方程是y=

3

（x-1）
直線與橢圓的方程聯(lián)立得到11x²-18x+3=0
∴弦長是

1+3

( 18 11 )2- 12 11

=

16 3

11

同理求出弦DE的長

16 3

9

∵四邊形的兩條對角線垂直，
∴四邊形的面積是

1

2

×

16 3

11

× 

16 3

9

=

128

33

點評：本題考查橢圓的標準方程和弦長公式，本題解題的關鍵是直線與橢圓的方程聯(lián)立得到一元二次方程，利用根與系數(shù)的關系求出弦長公式．