19.已知A,B是拋物線y2=4x上異于原點(diǎn)O的兩點(diǎn),且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$
(1)求證:直線AB恒過定點(diǎn)(4,0)
(2)若將$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$改為$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=m(m≠0)$,判斷直線AB是否經(jīng)過一定點(diǎn).若是,請寫出m=-2時(shí)該定點(diǎn)的坐標(biāo)(直接寫出結(jié)論即可)

分析 (1)設(shè)直線AB方程為x=my+b,將直線AB方程代入拋物線方程y2=4x,得y2-4my-4b=0,利用韋達(dá)定理,結(jié)合直線垂直的條件,能夠證明直線AB過定點(diǎn)M(4,0).
(2)當(dāng)m=-2時(shí),無論是直線$y=kx-(2-\sqrt{2})k$還是直線$y=kx-(2+\sqrt{2})k$均滿足$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=-2$,但第一條直線恒過$(2-\sqrt{2},0)$,第二條直線恒過$(2+\sqrt{2},0)$,即可得出結(jié)論.

解答 (1)證明:設(shè)直線AB方程為x=my+b,A(x1,y1),B(x2,y2),
將直線AB方程代入拋物線方程y2=4x,
得y2-4my-4b=0,
則y1+y2=4m,y1y2=-4b,
∵$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$,
∴OA⊥OB,∴kOA•kOB=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{16}{{y}_{1}{y}_{2}}$=-$\frac{4}$=-1,b=4.
于是直線AB方程為x=my+4,該直線過定點(diǎn)(4,0).
(2)否,當(dāng)m=-2時(shí),無論是直線$y=kx-(2-\sqrt{2})k$還是直線$y=kx-(2+\sqrt{2})k$均滿足$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=-2$,但第一條直線恒過$(2-\sqrt{2},0)$,第二條直線恒過$(2+\sqrt{2},0)$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線過定點(diǎn)的證明,考查直線與拋物線的位置關(guān)系,考查韋達(dá)定理的運(yùn)用,屬于中檔題.

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(1)求橢圓的方程;
(2)已知M,N是橢圓C上的點(diǎn),O為原點(diǎn),直線OM與ON的斜率之積為$-\frac{1}{4}$,若動(dòng)點(diǎn)P(x0,y0)滿足$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}+3\overrightarrow{ON}$,求證:${x_0}^2+4{y_0}^2$為定值.

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10.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD,且AB=PD=2,則這個(gè)四棱錐的內(nèi)切球半徑是2-$\sqrt{2}$.

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7.在正四面體ABCD中,平面ABC內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P滿足其到平面BCD距離與到A點(diǎn)距離相等,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是( 。
A.B.橢圓C.雙曲線D.拋物線

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14.已知函數(shù)f(x)=ax+blnx在點(diǎn)(1,a)處的切線方程為y=-x+3.
①求a,b的值;
②求函數(shù)$g(x)=f(x)-\frac{1}{x}$在區(qū)間$[{\frac{1}{2},2}]$上的最值.

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(1)求證:對任意實(shí)數(shù)m,直線與⊙C總有兩個(gè)不同的公共點(diǎn);
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8.已知函數(shù)f(x)=$\frac{1}{2}$ax2-(2a+1)x+2lnx(a∈R)
(1)當(dāng)a=$\frac{2}{3}$時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè)g(x)=(x2-2x)ex,如果對任意x1∈(0,2],均存在x2∈(0,2],使得f(x1)<g(x2)成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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9.觀察下列各圖,并閱讀下面的文字,像這樣,2、3、4條直線相交,交點(diǎn)的個(gè)數(shù)最多分別為1、3、6個(gè),其通項(xiàng)公式an=$\frac{1}{2}$n(n-1).(an為n條直線的交點(diǎn)的最多個(gè)數(shù))

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