Question

設(shè)A={x|x²+4x=0}，B={x|x²+2（a+1）x+a²-1=0}．
（1）若A∪B=B，求a的取值范圍；
（2）若B?A，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：并集及其運算,集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用

專題：集合

分析：（1）由已知得A⊆B，從而集合B中只含兩個元素，B=A，由此能求出a的值．
（2）當B⊆A時，A={0，-4}，解得a≤-1或a=1，由此能求出當B?A時，a的取值范圍是{a|a＞-1且a≠1}．

解答： 解：（1）∵A={x|x²+4x≤0}={x|-4≤x≤0}，
B={x|x²+2（a+1）x+a²-1≤0}．
A∪B=B，∴A⊆B，
∴集合B中至少有兩個元素，①
而方程x²+2（a+1）x+a²-1=0至多有兩個實根
∴集合B中至多有兩個元素，②，
∴由①、②得集合B中只含兩個元素，∴B=A，
當a=1時，方程x²+2（a+1）x+a²-1=0，x²+4x=0，
此時B=A符合條件．
故所求a的值為a=1．
（2）當B⊆A時，A={0，-4}，
①若B=∅，則x²+2（a+1）x+a²-1=0，△＜0，
于是，4[（a+1）²-（a²-1）]＜0，∴a＜-1；
②若B={0}，把x=0代入方程得a=±1；
當a=1時，B={0，-4}≠{0}，∴a≠1；
當a=-1時，B={0}，∴a=-1；
③若B={-4}，把x=-4代入得a=1或a=7；
當a=1時，B={0，-4}≠{-4}，∴a≠1；
當a=7時，B={-4，-12}≠{-4}，∴a≠7；
④若B={0，-4}，則a=1；
當a=1時，B={0，-4}，∴a=1；
綜上所述：a≤-1或a=1．
∴當B?A時，a的取值范圍是{a|a＞-1且a≠1}．

點評：本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意分類討論思想的合理運用．