周長(zhǎng)為2的直角三角形的面積的最大值為
3-2
2
3-2
2
．
分析：設(shè)直角三角形的兩直角邊為a、b，斜邊為c，因?yàn)長(zhǎng)=a+b+c，c=
a2+b2
，兩次運(yùn)用均值不等式即可求解．
解答：解：設(shè)直角三角形的兩直角邊分別為a、b，斜邊為c，則直角三角形的面積S=
1
2
ab．
由已知，得a+b+c=2，∴a+b+
a2+b2
=2，
∴2=a+b+
a2+b2
≥2
ab
+
2ab
=（2+
2
）
ab
，
∴
ab
≤
2
2+
2
=2-
2
，∴ab≤（2-
2
）2=6-4
2
，
∴S=
1
2
ab≤3-2
2
，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2-
2
時(shí)，S取最大值3-2
2
．
故答案為：3-2
2
．
點(diǎn)評(píng)：利用均值不等式解決實(shí)際問題時(shí)，列出有關(guān)量的函數(shù)關(guān)系式或方程式是均值不等式求解或轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，三角形AOB是腰長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)O位于直線AB的兩側(cè)，且∠APB=
34
π．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）過點(diǎn)P作PH⊥OA交OA于H，求△OHP得周長(zhǎng)的最大值及此時(shí)P點(diǎn)得坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知下列命題：
①若
AB
=(3，4)，則
AB
按
a
=(-2，1)平移后的坐標(biāo)為（-5，5）；
②已知M是△ABC的重心，則
MA
 +
MB
 +
MC
 =
0
；
③周長(zhǎng)為
2
+1的直角三角形面積的最大值為
1
4
；
④在△ABC中，若
a
cos
A
2
=
b
cos
B
2
=
c
cos
C
2
，則△ABC是等邊三角形．
其中正確的序號(hào)是（將所有正確的序號(hào)全填在橫線上）
②③④
②③④
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

周長(zhǎng)為2的直角三角形的面積的最大值為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：河北邯鄲2009-2010學(xué)年高一下學(xué)期期末 題型：選擇題

 周長(zhǎng)為2的直角三角形面積的最大值為                         （    ）

    A．     B．     C．     D．

 

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