【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時,求的最小值.
(Ⅱ)若在區(qū)間上有兩個極值點(diǎn),
(i)求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(ii)求證:.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)(i);(ii)詳見解析.
【解析】
(Ⅰ)求出,列表討論的單調(diào)性,問題得解。
(Ⅱ)(i)由在區(qū)間上有兩個極值點(diǎn)轉(zhuǎn)化成有兩個零點(diǎn),即有兩個零點(diǎn),求出,討論的單調(diào)性,問題得解。
(ii)由得,將轉(zhuǎn)化成,由得單調(diào)性可得,討論在的單調(diào)性即可得證。
解:(Ⅰ)當(dāng)時,,,令,得.
的單調(diào)性如下表:
|
|
|
|
| - | 0 | + |
| 單調(diào)遞減 |
| 單調(diào)遞增 |
易知.
(Ⅱ)(i).令,則.
令,得.
的單調(diào)性如下表:
|
|
|
|
| - | 0 | + |
| 單調(diào)遞減 |
| 單調(diào)遞增 |
在區(qū)間上有兩個極值點(diǎn),即在區(qū)間上有兩個零點(diǎn),
結(jié)合的單調(diào)性可知,且,即且.
所以,即的取值范圍是.
(ii)由(i)知,所以.
又,,,結(jié)合的單調(diào)性可知,.
令,則.當(dāng)時,,,,
所以在上單調(diào)遞增,而,,
因此.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:()的左焦點(diǎn)為,其中四個頂點(diǎn)圍成的四邊形面積為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過點(diǎn)的直線與曲線交于,兩點(diǎn),設(shè)的中點(diǎn)為,,兩點(diǎn)為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn),且(),求四邊形面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線的參數(shù)方程為(為參數(shù),).
(1)若曲線與直線的一個交點(diǎn)縱坐標(biāo)為,求的值;
(2)若曲線上的點(diǎn)到直線的最大距離為,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從甲、乙兩品種的棉花中各抽測了25根棉花的纖維長度(單位:mm),得到如圖5的莖葉圖,整數(shù)位為莖,小數(shù)位為葉,如27.1mm的莖為27,葉為1.
(1)試比較甲、乙兩種棉花的纖維長度的平均值的大小及方差的大小;(只需寫出估計的結(jié)論,不需說明理由)
(2)將棉花按纖維長度的長短分成七個等級,分級標(biāo)準(zhǔn)如表:
試分別估計甲、乙兩種棉花纖維長度等級為二級的概率;
(3)為進(jìn)一步檢驗甲種棉花的其它質(zhì)量指標(biāo),現(xiàn)從甲種棉花中隨機(jī)抽取4根,記為抽取的棉花纖維長度為二級的根數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(k為常數(shù))是實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù),其中e為自然對數(shù)的底數(shù)。
(1)求k的值;
(2)討論關(guān)于x的方程如的根的個數(shù)。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示的曲線圖是2020年1月25日至2020年2月12日陜西省及西安市新冠肺炎累計確診病例的曲線圖,則下列判斷正確的是( )
A.1月31日陜西省新冠肺炎累計確診病例中西安市占比超過了
B.1月25日至2月12日陜西省及西安市新冠肺炎累計確診病例都呈遞增趨勢
C.2月2日后到2月10日陜西省新冠肺炎累計確診病例增加了97例
D.2月8日到2月10日西安市新冠肺炎累計確診病例的增長率大于2月6日到2月8日的增長率
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2018年6月14日,世界杯足球賽在俄羅斯拉開帷幕,世界杯給俄羅斯經(jīng)濟(jì)帶來了一定的增長,某紀(jì)念商品店的銷售人員為了統(tǒng)計世界杯足球賽期間商品的銷售情況,隨機(jī)抽查了該商品商店某天200名顧客的消費(fèi)金額情況,得到如圖頻率分布表:將消費(fèi)顧客超過4萬盧布的顧客定義為”足球迷”,消費(fèi)金額不超過4萬盧布的顧客定義為“非足球迷”。
消費(fèi)金額/萬盧布 | 合計 | ||||||
顧客人數(shù) | 9 | 31 | 36 | 44 | 62 | 18 | 200 |
(1)求這200名顧客消費(fèi)金額的中位數(shù)與平均數(shù)(同一組中的消費(fèi)金額用該組的中點(diǎn)值作代表;
(2)該紀(jì)念品商店的銷售人員為了進(jìn)一步了解這200名顧客喜歡紀(jì)念品的類型,采用分層抽樣的方法從“非足球迷”,“足球迷”中選取5人,再從這5人中隨機(jī)選取3人進(jìn)行問卷調(diào)查,則選取的3人中“非足球迷”人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示1,已知四邊形ABCD滿足,,E是BC的中點(diǎn).將沿著AE翻折成,使平面平面AECD,F為CD的中點(diǎn),如圖所示2.
(1)求證:平面;
(2)求AE到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,,過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn),延長交橢圓于點(diǎn),的周長為8.
(1)求的離心率及方程;
(2)試問:是否存在定點(diǎn),使得為定值?若存在,求;若不存在,請說明理由.
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