【題目】已知函數(shù)f(x)=x2﹣ax﹣alnx(a∈R),g(x)=﹣x3+ x2+2x﹣6,g(x)在[1,4]上的最大值為b,當x∈[1,+∞)時,f(x)≥b恒成立,則a的取值范圍(
A.a≤2
B.a≤1
C.a≤﹣1
D.a≤0

【答案】B
【解析】解:g′(x)=﹣3x2+5x+2,令g′(x)=0得x=2或x=﹣ .當1≤x<2時,g′(x)>0,當2<x<4時,g′(x)<0,
∴g(x)在[1,2)上單調(diào)遞增,在(2,4]上單調(diào)遞減,
∴b=g(2)=0.
∴f(x)≥0在[1,+∞)上恒成立,
f′(x)=2x﹣a﹣ = ,
令h(x)=2x2﹣ax﹣a,△=a2+8a(1)若△=a2+8a≤0,即﹣8≤a≤0,則h(x)≥0恒成立,
∴f′(x)≥0恒成立,∴f(x)在[1,+∞)上是增函數(shù),
∴fmin(x)=f(1)=1﹣a≥0,解得a≤1,
∴﹣8≤a≤0.(2)若△=a2+8a>0,即a<﹣8或a>0.
令f′(x)=0得h(x)=0,解得x= (舍)或x=
若a<﹣8,則 <0,則h(x)>0在[1,+∞)上恒成立,
∴f′(x)>0恒成立,∴f(x)在[1,+∞)上是增函數(shù),
∴fmin(x)=f(1)=1﹣a≥0,解得a≤1,
∴a<﹣8.
若0< ≤1,即0<a≤1,則h(x)>0在[1,+∞)上恒成立,
∴f′(x)≥0恒成立,∴f(x)在[1,+∞)上是增函數(shù),
∴fmin(x)=f(1)=1﹣a≥0,解得a≤1,
∴0<a≤1.
>1,即a>1時,則1≤x< 時,h(x)<0,當x> 時,h(x)>0.
∴1≤x< 時,f′(x)<0,當x> 時,f′(x)>0.
∴f(x)在[1, ]上單調(diào)遞減,在( ,+∞)上單調(diào)遞增.
此時fmin(x)<f(1)=1﹣a<0,不符合題意.
綜上,a的取值范圍是(﹣∞,1].
故選:B.
利用導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性關系判斷g(x)的單調(diào)性求出g(x)在[1,4]上的最大值b,對a進行討論判斷f(x)在[1,+∞)上的單調(diào)性,令fmin(x)≥b解出a的范圍.

練習冊系列答案
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①如果“似周期函數(shù)”y=f(x)的“似周期”為﹣1,那么它是周期為2的周期函數(shù);
②函數(shù)f(x)=x是“似周期函數(shù)”;
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A.6
B.7
C.8
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