Question

已知函數(shù)f（x）=

(x-1)3， x≥1 (1-x)3， x＜1

．若關(guān)于x的不等式f（x）＜f（ax+1）的解集中有且僅有2個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：

分析：由題意先將不等式f（x）＜f（ax+1）化簡(jiǎn)，將問題轉(zhuǎn)化為含絕對(duì)值符號(hào)的一次不等式的解的問題來處理，則借助于數(shù)形結(jié)合的思想容易解決問題．

解答： 解：由解析式得：函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，且當(dāng)x＞1時(shí)，函數(shù)遞增，
所以f（x）＜f（ax+1）可化為：|x-1|＜|ax+1-1|，
即|x-1|＜||ax|，由于該解集中只有兩個(gè)整數(shù)，所以該集合應(yīng)該是兩邊夾的形式，
根據(jù)函數(shù)y=|x-1|，y=|ax|的圖象可知，0＜|a|＜1，
解得

1

1+|a|

＜x＜

1

1-|a|

，記該不等式解集為A，
顯然整數(shù)1屬于A，則有另一個(gè)整數(shù)2∈A，所以2＜

1

1-|a|

≤3，
解得a∈[-

2

3

，-

1

2

)∪(

1

2

，

2

3

]．
故答案為a∈[-

2

3

，-

1

2

)∪(

1

2

，

2

3

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用數(shù)形結(jié)合思想解決不等式的問題，關(guān)鍵是能根據(jù)題意將原不等式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后求解．