Question

已知，其中是常數(shù)．
（1）若是奇函數(shù)，求的值；
（2）求證：的圖像上不存在兩點(diǎn)A、B，使得直線AB平行于軸．

Answer 1

(1)；(2)證明見(jiàn)解析．

試題分析：(1)奇函數(shù)的問(wèn)題，可以根據(jù)奇函數(shù)的定義，利用來(lái)解決，由于本題中有對(duì)數(shù)符號(hào)，有根式，因此根據(jù)求出后，最好能再求出函數(shù)的定義域，驗(yàn)證下它是奇函數(shù)；(2)要證明函數(shù)的圖像上不存在兩點(diǎn)A、B，使得直線AB平行于軸，即方程不可能有兩個(gè)或以上的解，最多只有一個(gè)解，由于表達(dá)式不太簡(jiǎn)便，因此我們可以從簡(jiǎn)單的方面入手試試看，看是不是單調(diào)函數(shù)，本題函數(shù)正好能根據(jù)單調(diào)性的定義證明此函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，故本題結(jié)論得證．
試題解析：（1）解法一：設(shè)定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034441117315.png" style="vertical-align:middle;" />,則：
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034440883608.png" style="vertical-align:middle;" />是奇函數(shù)，所以對(duì)任意，有，    3分
得.                        5分
此時(shí)，，，為奇函數(shù)。                6分
解法二：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)不是奇函數(shù).    2分
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域是一切實(shí)數(shù).                   3分
要使得函數(shù)是奇函數(shù)，則對(duì)成立。              5分
所以                               6分
（2）設(shè)定義域內(nèi)任意，設(shè)


                 9分
當(dāng)時(shí)，總有，
，得；           11分
當(dāng)時(shí)，
，得。
故總有在定義域上單調(diào)遞增                     13分
的圖像上不存在兩點(diǎn)，使得所連的直線與軸平行              14分