Question

8．某化工廠擬建一個下部為圓柱，上部為半球的容器（如圖，圓柱高為h，半徑為r，不計厚度，單位：米），按計劃容積為72π立方米，且h≥2r，假設(shè)其建造費用僅與表面積有關(guān)（圓柱底部不計），已知圓柱部分每平方米的費用為2千元，半球部分每平方米4千元，設(shè)該容器的建造費用為y千元．
（Ⅰ）求y關(guān)于r的函數(shù)關(guān)系，并求其定義域；
（Ⅱ）求建造費用最小時的r．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用容積為72π立方米，列出$72π=\frac{{2π{r^3}}}{3}=π{r^2}h$，得到$h=\frac{72}{r^2}-\frac{2r}{3}≥2r$，然后求解建造費用的函數(shù)解析式．
（Ⅱ）利用導(dǎo)函數(shù)，判斷單調(diào)性求解最值即可．

解答 （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）由容積為72π立方米，得$72π=\frac{{2π{r^3}}}{3}=π{r^2}h$．…（2分）
$h=\frac{72}{r^2}-\frac{2r}{3}≥2r$，解得0＜r≤3，…（4分）
又圓柱的側(cè)面積為$2πrh=2πr（{\frac{72}{r^2}-\frac{2r}{3}}）$，
半球的表面積為2πr²，
所以建造費用$y=\frac{288π}{r}+\frac{{16π{r^2}}}{3}$，定義域為（0，3]．…（6分）
（Ⅱ）$y'=16π（{\frac{18}{r}+\frac{r^2}{3}}）'=32π\(zhòng)frac{{（{r^3}-27）}}{{3{r^2}}}$，…（8分）
又0＜r≤3，所以y'≤0，所以建造費用$y=\frac{288π}{r}+\frac{{16π{r^2}}}{3}$，
在定義域（0，3]上單調(diào)遞減，所以當(dāng)r=3時建造費用最�。�…（12分）

點評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的最值的求法，實際問題的處理方法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．