Question

已知△ABC中，AC=1，∠ABC=

2π

3

，∠BAC=x，記f（x）=

AB

•

BC

．
（1）求f（x）解析式并標(biāo)出其定義域；
（2）設(shè)g（x）=6mf（x）+1（m＜0），若g（x）的值域?yàn)閇-

3

2

，1），求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理的應(yīng)用,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的求值,解三角形

分析：（1）由正弦定理有：

BC

sinx

=

1

sin 2π 3

=

AB

sin( π 3 -x)

；利用數(shù)量積定義可得f（x）=

AB

•

BC

=

4

3

sinxsin(

π

3

-x)×

1

2

，化簡即可；
（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（1）由正弦定理有：

BC

sinx

=

1

sin 2π 3

=

AB

sin( π 3 -x)

；
∴BC=

2 3

3

sinx，AB=

2 3

3

sin(

π

3

-x)；
∴f（x）=

AB

•

BC

=

4

3

sinxsin(

π

3

-x)×

1

2

=

2

3

(

3

2

cosx-

1

2

sinx)sinx
=

1

3

sin(2x+

π

6

)-

1

6

(0＜x＜

π

3

)．
（2）g（x）=6mf（x）+1=2msin(2x+

π

6

)-m+1，
∵x∈(0，

π

3

)，
∴

π

6

＜2x+

π

6

＜

5π

6

，
則sin(2x+

π

6

)∈(

1

2

，1]．
當(dāng)m＜0時(shí)，g（x）=2msin(2x+

π

6

)-m+1的值域?yàn)閇m+1，1]．
又g（x）的值域?yàn)閇-

3

2

，1），解得m=-

5

2

．
∴綜上：m=-

5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正弦定理、數(shù)量積定義、正弦函數(shù)的單調(diào)性、兩角和差的正弦公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．