Question

4．已知復數z=k-2i（k∈R）的共軛復數$\overline{z}$，且z-（$\frac{1}{2}$-i）=$\frac{\overline{z}}{2}$-2i．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）若過點（0，-2）的直線l的斜率為k，求直線l與曲線y=$\sqrt{x}$以及y軸所圍成的圖形的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用復數相等與代數運算，列出方程求出k的值；
（Ⅱ）寫出直線l的方程，求出直線l與曲線y=$\sqrt{x}$的交點，再利用積分求對應的面積．

解答 解：（Ⅰ）復數z=k-2i的共軛復數$\overline{z}$=k+2i，
且z-（$\frac{1}{2}$-i）=$\frac{\overline{z}}{2}$-2i，
∴（k-2i）-（$\frac{1}{2}$-i）=$\frac{1}{2}$（k+2i）-2i，
∴（k-$\frac{1}{2}$）-i=$\frac{1}{2}$k-i，
即k-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$k，
解得k=1；
（Ⅱ）過點（0，-2）的直線l的斜率為k=1，
∴直線l的方程為：y=x-2；
令$\left\{\begin{array}{l}{y=x-2}\\{y=\sqrt{x}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴直線l與曲線y=$\sqrt{x}$的交點為（4，2）；
如圖所示
曲線y=$\sqrt{x}$與直線y=x-2以及y軸所圍成的圖形的面積為：
S_△OBC+∫₀²$\sqrt{x}$dx+∫₂⁴（$\sqrt{x}$-x+2）dx=$\frac{1}{2}$×2×2+$\frac{2}{3}$${x}^{\frac{3}{2}}$${|}_{0}^{2}$+（$\frac{2}{3}$${x}^{\frac{3}{2}}$-$\frac{1}{2}$x²+2x）${|}_{2}^{4}$=$\frac{16}{3}$．

點評 本題考查了復數的代數運算問題，也考查了用定積分求面積的應用問題，是綜合性題目．