Question

已知向量

a

=（cosα，sinα）、

b

=（cosβ，sinβ）、

c

=（cosγ，sinγ），其中α，β，γ∈[-π，π]，且滿足

a

+2

b

+

c

=

0

求：
（1）

a

•

b

；     
（2）

b

與

a

+

b

-2

c

的夾角．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：平面向量及應用

分析：（1）求

a

•

b

，所以讓式子

a

+2

b

+

c

=0中出現(xiàn)

a

•

b

，將

c

移到等號的右邊并兩邊平方即可求出

a

•

b

．
（2）由

b

•(

a

+2

b

+

c

)=0求出

b

•

c

，這樣便能求出

b

•(

a

+

b

-2

c

)=2．并且由

c

•(

a

+2

b

+

c

)=0，可求

a

•

c

，這樣便能求(

a

+

b

-2

c

)2，從而求出|

a

+

b

-2

c

|，這時候根據(jù)兩向量夾角的余弦公式可求出

b

與

a

+

b

-2

c

的夾角的余弦值，從而求出夾角．

解答： 解：（1）∵

a

+2

b

+

c

=

0

；∴

a

+2

b

=-

c

∴(

a

+2

b

)2=(-

c

)2；
∴

a

•

b

=-1．
（2）∵

b

•(

a

+2

b

+

c

)=0；
∴

b

•(

a

+2

b

+

c

)=-1+2+

b

•

c

=0；
∴

b

•

c

=-1；
∵

c

•(

a

+2

b

+

c

)=

c

•

a

-2+1=0；
∴

a

•

c

=1；
∴(

a

+

b

-2

c

)2=4，∴|

a

+

b

-2

c

|=2；
設向量

b

與

a

+

b

-2

c

的夾角為θ，則：cosθ=

2

1×2

=1；
∵θ∈[0，π]
∴θ=0．
∴

b

與

a

+

b

-2

c

的夾角為0．

點評：考查向量的數(shù)量積的運算，通過求向量的平方來求向量的模的方法，向量夾角的余弦公式，并且本題給出向量的坐標是表示模等于1，不要進行向量坐標的運算．