Question

7．某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明，該商品每日的銷售量y（單位：千克）與銷售價格x（單位：元/千克）滿足關(guān)系式：y=$\frac{a}{x-3}$+10（x-6）²，其中3＜x＜6，a為常數(shù)，已知銷售的價格為5元/千克時，每日可以售出該商品11千克．
（1）求a的值；
（2）若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大，并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）由x=5時，y=11，代入函數(shù)的解析式，解關(guān)于a的方程，可得a值；
（2）商場每日銷售該商品所獲得的利潤=每日的銷售量×銷售該商品的單利潤，可得日銷售量的利潤函數(shù)為關(guān)于x的三次多項式函數(shù)，再用求導(dǎo)數(shù)的方法討論函數(shù)的單調(diào)性，得出函數(shù)的極大值點，從而得出最大值對應(yīng)的x值．

解答 解：（1）因為x=5時，y=11，
y=$\frac{a}{x-3}$+10（x-6）²，其中3＜x＜6，a為常數(shù)．
所以$\frac{a}{2}$+10=11，故a=2；
（2）由（1）可知，該商品每日的銷售量y=$\frac{2}{x-3}$+10（x-6）²，
所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤為f（x）=（x-3）[$\frac{2}{x-3}$+10（x-6）²]
=2+10（x-3）（x-6）²，3＜x＜6．
從而，f′（x）=10[（x-6）²+2（x-3）（x-6）]=30（x-6）（x-4），
于是，當(dāng)x變化時，f（x）、f′（x）的變化情況如下表：

x	（3，4）	4	（4，6）
f'（x）	+	0	-
f（x）	單調(diào)遞增	極大值42	單調(diào)遞減

由上表可得，x=4是函數(shù)f（x）在區(qū)間（3，6）內(nèi)的極大值點，也是最大值點．
所以，當(dāng)x=4時，函數(shù)f（x）取得最大值，且最大值等于42．
答：當(dāng)銷售價格為4元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)在實際問題中的運用：求最值，求出利潤的函數(shù)式和正確求導(dǎo)是解題的關(guān)鍵，考查運算能力，屬于中檔題．