Question

設(shè)函數(shù)f(x)=2sinxcosx-cos(2x-

π

6

)．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)増區(qū)間；
（3）當(dāng)x∈[0，

2π

3

]時(shí)，求函數(shù)f（x）的最大值及取得最大值時(shí)的x的值．

Answer 1

分析：利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，按要求求解即可；

解答：解：f（x）=2sinxcosx-cos（2x-

π

6

）=sin2x-（cos2xcos

π

6

+sin2xsin

π

6

）=-cos（2x+

π

6

）
（1）T=

2π

2

=π
（2）函數(shù)f（x）的單調(diào)増區(qū)間為2x+

π

6

∈[2kπ，π+2kπ]k∈Z
∴x∈[-

π

12

+kπ，

5π

12

+kπ]k∈Z
即函數(shù)f（x）的單調(diào)増區(qū)間為x∈[-

π

12

+kπ，

5π

12

+kπ]k∈Z
（3）當(dāng)x∈[0，

2π

3

]時(shí)，2x+

π

6

∈[

π

6

，

3π

2

]
∴當(dāng)2x+

π

6

=π時(shí)，f（x）取最大值，即x=

5π

12

時(shí)，f（x）_max=1

點(diǎn)評(píng)：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及正弦函數(shù)的周單調(diào)性以及最值，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵