Question

8．已知橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，A為橢圓E的右頂點(diǎn)，B，C分別為橢圓E的上、下頂點(diǎn)．線段CF₂的延長線與線段AB交于點(diǎn)M，與橢圓E交于點(diǎn)P．
（1）若橢圓的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，△PF₁C的面積為12，求橢圓E的方程；
（2）設(shè)S${\;}_{△CM{F}_{2}}$=λ•S${\;}_{△CP{F}_{1}}$，求實(shí)數(shù)λ的最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意可知b=c，則△F₁CF₂是等腰直角三角形，利用勾股定理及橢圓的定義，求得丨PF₁丨=$\frac{5a}{3}$，丨PF₂丨=$\frac{a}{3}$，丨PC丨=$\frac{4a}{3}$，根據(jù)三角形的面積公式，即可求得橢圓E的方程；
（2）求得直線AB及PC的方程，聯(lián)立求得M點(diǎn)坐標(biāo)，由題意可知：丨CM丨=λ丨CP丨，根據(jù)向量數(shù)量積求得P點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程，利用基本不等式性質(zhì)即可求得λ的最小值．

解答 解：（1）由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，則a=$\sqrt{2}$c，b²=a²-c²=c²，
∴△F₁CF₂是等腰直角三角形，丨PF₁丨+丨PF₂丨=2a，則丨PF₂丨=2a-丨PF₁丨，
由勾股定理知，丨PF₁丨²=丨CF₁丨²+丨CP丨²，丨PF₁丨²=a²+（a+丨PF₂丨²）²，
則丨PF₁丨²=a²+（3a-丨PF₁丨²）²，
解得：丨PF₁丨=$\frac{5a}{3}$，丨PF₂丨=$\frac{a}{3}$，丨PC丨=$\frac{4a}{3}$，
∴△PF₁C的面積為S=$\frac{1}{2}$×a×$\frac{4a}{3}$=12，即a²=18，b²=9．
∴橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{18}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$；
（2）設(shè)P（x，y），因?yàn)橹本�AB的方程為y=-$\frac{a}$x+b，直線PC的方程為y=$\frac{c}$-b，
所以聯(lián)立方程解得M（$\frac{2ac}{a+c}$，$\frac{ab-bc}{a+c}$）．
因?yàn)镾${\;}_{△CM{F}_{2}}$=λ•S${\;}_{△CP{F}_{1}}$，所以丨CM丨=λ丨CP丨，所以$\overrightarrow{CM}$=λ$\overrightarrow{CP}$，
∴（$\frac{2ac}{a+c}$，$\frac{ab-bc}{a+c}$）=λ（x，y+b），則x=$\frac{2ac}{λ（a+c）}$，y=$\frac{2ab-λb（a+c）}{a+c}$，
代入橢圓E的方程，得$\frac{4{c}^{2}}{{λ}^{2}（a+c）^{2}}$+$\frac{[2a-λ（a+c）]^{2}}{{λ}^{2}（a+c）^{2}}$=1，
即4c²+[2a-λ（a+c）]²=λ²（a+c）²，
∴λ=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{a（a+c）}$=$\frac{1+{e}^{2}}{1+e}$=1+e+$\frac{2}{1+e}$-2≥2$\sqrt{（1+e）×\frac{2}{1+e}}$-2=2$\sqrt{2}$-2，
因?yàn)?＜e＜1，1＜e+1＜2，
∴當(dāng)且僅當(dāng)e+1=$\sqrt{2}$，即e=$\sqrt{2}$-1時(shí)，
∴取到最小值2$\sqrt{2}$-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查基本不等式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．