Question

已知正六棱柱的12個頂點都在一個半徑為3的球面上，當正六棱柱的體積最大（柱體體積=底面積×高）時，其高的值為（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)正六棱柱和球的對稱性，球心O必然是正六棱柱上下底面中心連線的中點，作出過正六棱柱的對角面的軸截面即可得到正六棱柱的底面邊長、高和球的半徑的關系，在這個關系下求函數(shù)取得最值的條件即可求出所要求的量．
解答：解：以正六棱柱的最大對角面作截面，如圖．設球心為O，正六棱柱的上下底面中心分別為O₁，O₂，則O是O₁，O₂的中點．設正六棱柱的底面邊長為a，高為2h，則a²+h²=9．正六棱柱的體積為，即，則，得極值點，不難知道這個極值點是極大值點，也是最大值點．故當正六棱柱的體積最大，其高為．
故選B
點評：本題是在空間幾何體、導數(shù)的應用交匯處命制，解題的關鍵是建立正六棱柱體積的函數(shù)關系式．考生如果對選修系列四的《不等式選講》較為熟悉的話，求函數(shù)的條件可以使用三個正數(shù)的均值不等式進行，即，等號成立的條件是9-h²=2h²．