Question

(本小題滿分l2分)
已知函數(shù)
（1）若，求函數(shù)的極小值；
（2）設函數(shù)，試問：在定義域內是否存在三個不同的自變量使得的值相等，若存在，請求出的范圍，若不存在，請說明理由？

Answer 1

（1）極小值   （2）不存在

解析試題分析：（I）由已知得， 
則當時，可得函數(shù)在上是減函數(shù)，
當時，可得函數(shù)在上是增函數(shù)，
故函數(shù)的極小值為；
(Ⅱ)若存在，設，則對于某一實數(shù)，方程在上有三個不同的實數(shù)根，設，
則有兩個不同的零點，即關于的方程有兩個不同的解
，
則，
設，則，故在上單調遞增，
則當時，即，
又，則故在上是增函數(shù)，
則至多只有一個解，故不存。
方法二：關于方程的解，
當時，由方法一知，此時方程無解；
當時，可以證明是增函數(shù)，此方程最多有一個解，故不存在。
考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性；極值；函數(shù)的零點．
點評：本題考查函數(shù)的單調區(qū)間的求法，考查滿足條件的實數(shù)的取值范圍的求法．綜合性強，難度大，具有一定的探索性．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．