Question

15．已知定義在（0，+∞）的函數(shù)f（x），其導函數(shù)為f′（x），滿足：f（x）＞0且$\frac{2x+3}{x}＞-\frac{{{f^'}（x）}}{f（x）}$總成立，則下列不等式成立的是（　�。�

• A． e^2e+3f（e）＜e^2ππ³f（π）
• B． e^2e+3f（π）＞e^2ππ³f（e）
• C． e^2e+3f（π）＜e^2ππ³f（e）
• D． e^2e+3f（e）＞e^2ππ³f（π）

Answer 1

分析 令g（x）=e^2xx³f（x），g′（x）=）=e^2xx²[（2x+3）f（x）+xf′（x）]＞0，⇒g（x）=e^2xx³f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增⇒g（e）＜g（π），即可得到．

解答 解：∵f（x）＞0且$\frac{2x+3}{x}＞-\frac{{{f^'}（x）}}{f（x）}$總成立，∴（2x+3）f（x）+xf′（x）＞0．
令g（x）=e^2xx³f（x），g′（x）=）=e^2xx²[（2x+3）f（x）+xf′（x）]＞0，
∴g（x）=e^2xx³f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，∴g（e）＜g（π），
∴e^2e+3f（e）＜e^2ππ³f（π），故選：A．

點評 本題考查了構(gòu)造新函數(shù)，處理不等式問題，屬于壓軸題．