【題目】圓周上有個(gè)點(diǎn),用弦兩兩連結(jié)起來,其中任何3條弦都不在圓內(nèi)共點(diǎn).現(xiàn)將由此形成的互補(bǔ)重疊的圓內(nèi)區(qū)域的個(gè)數(shù)記為.

(1).直接畫圖求出,,,

(2).確定的表達(dá)式.

【答案】(1)見解析(2)

【解析】

(1)由下圖可得,,,

由前4個(gè)數(shù)值我們會(huì)猜測(cè),但否定了這個(gè)猜測(cè).

(2)一般地,我們將所求區(qū)域分成兩部分,一部分是個(gè)弓形,另一部分是多邊形內(nèi)被對(duì)角線分成的區(qū)域.為敘述方便,我們將這些區(qū)域稱為內(nèi)區(qū),而對(duì)角線交點(diǎn)(下圖中)稱為結(jié)點(diǎn).

考慮的情況(否則無結(jié)點(diǎn),失去一般性)設(shè)多邊形的內(nèi)區(qū)中有個(gè)三角形,個(gè)四邊形,,個(gè)邊形,則邊形的內(nèi)區(qū)有(個(gè)).

從而,.

可見關(guān)鍵是求出來,分3步進(jìn)行,

(i)先計(jì)算各內(nèi)區(qū)頂點(diǎn)總和的表達(dá)式.首先.

由于多邊形內(nèi)每一個(gè)結(jié)點(diǎn)與多邊形的4個(gè)頂點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)(如上圖中,與,,對(duì)應(yīng)),故結(jié)點(diǎn)共有個(gè),且每一內(nèi)點(diǎn)對(duì)應(yīng)著4個(gè)區(qū)域.而多邊形的每一個(gè)頂點(diǎn)可引出條對(duì)角線,都是個(gè)三角形的公共點(diǎn),因此,又可表示為

.

(ii)再計(jì)算各內(nèi)區(qū)內(nèi)角總和的表達(dá)式.首先

由于每一個(gè)內(nèi)點(diǎn)都含有一個(gè)周角,總和為.邊形的每一個(gè)頂點(diǎn)上各角之和為,又有

對(duì)比的兩種表達(dá)式得

.

(iii)求出,進(jìn)而得出.

由①-②得

.

從而,.

這個(gè)式子也可以表示為

.

若約定,則的通項(xiàng)公式可用上述任一表達(dá)式.由于,

所以,③與④的前5項(xiàng)相同,時(shí),猜想就不對(duì)了.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某旅游景區(qū)的景點(diǎn)處和處之間有兩種到達(dá)方式,一種是沿直線步行,另一種是沿索道乘坐纜車,現(xiàn)有一名游客從處出發(fā),以的速度勻速步行,后到達(dá)處,在處停留后,再乘坐纜車回到.假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為.

1)求該游客離景點(diǎn)的距離關(guān)于出發(fā)后的時(shí)間的函數(shù)解析式,并指出該函數(shù)的定義域;

2)做出(1)中函數(shù)的圖象,并求該游客離景點(diǎn)的距離不小于的總時(shí)長(zhǎng).

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【題目】已知點(diǎn)(1,2)是函數(shù)的圖象上一點(diǎn),數(shù)列的前項(xiàng)和是.

(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

(2)若,求數(shù)列的前n項(xiàng)和

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【題目】已知函數(shù).

(1)討論函數(shù)上的單調(diào)性;

(2)證明: .

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【題目】已知拋物線與二次曲線4個(gè)不同的交點(diǎn),由下面的草圖可以看出,下面三個(gè)結(jié)論是成立的,請(qǐng)給出證明.

(1).兩曲線的4個(gè)交點(diǎn)中,至少有兩個(gè)交點(diǎn)位于軸的下方;

(2).拋物線必與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn),記為,,;

(3).兩曲線的4個(gè)交點(diǎn)中,必存在一點(diǎn),使.

.對(duì)、、的不同取值會(huì)有無數(shù)個(gè)圖形,此處僅就各給出一個(gè)示意圖,同時(shí)也就限制由圖看出的解答.

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【題目】冬季晝夜溫差大小與某反季節(jié)大豆新品種發(fā)芽多少之間有關(guān)系,某農(nóng)科所對(duì)此關(guān)系進(jìn)行了調(diào)查分析,他們分別記錄了121日至125日的每天晝夜溫差與實(shí)驗(yàn)室每天每100顆種子中的發(fā)芽數(shù),得到如下資料:

該農(nóng)科所確定的研究方案是:先從這五組數(shù)據(jù)中選取2組,用剩下的3組數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再對(duì)被選取的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).

(1)求選取的2組數(shù)據(jù)恰好是相鄰2天數(shù)據(jù)的概率;

(2)若選取的是121日與125日的兩組數(shù)據(jù),請(qǐng)根據(jù)122日至124日的數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的線性回歸方程;

(3)若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差不超過2顆,則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的,試問(2)中所得的線性回歸方程是否可靠?

(參考公式:,.)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,直三棱柱ABCA1B1C1中(側(cè)棱與底面垂直的棱柱),AC=BC=1,∠ACB=90°,AA1D A1B1的中點(diǎn).

(1)求證:C1D平面AA1B1B;

(2)當(dāng)點(diǎn)F BB1上的什么位置時(shí),AB1平面C1DF ?并證明你的結(jié)論.

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【題目】如圖,三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直,,,分別是棱的中點(diǎn).

(1)證明:平面平面

(2)求二面角的余弦值.

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【題目】某公司招聘員工,先由兩位專家面試,若兩位專家都同意通過,則視作通過初審予以錄用;若這兩位專家都未同意通過,則視作未通過初審不予錄用;當(dāng)這兩位專家意見不一致時(shí),再由第三位專家進(jìn)行復(fù)審,若能通過復(fù)審則予以錄用,否則不予錄用.設(shè)應(yīng)聘人員獲得每位初審專家通過的概率均為,復(fù)審能通過的概率為,各專家評(píng)審的結(jié)果相互獨(dú)立.

1)求某應(yīng)聘人員被錄用的概率;

2)若4人應(yīng)聘,設(shè)X為被錄用的人數(shù),試求隨機(jī)變量X的分布列.

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