【題目】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，且.過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作長(zhǎng)軸的垂線與橢圓，在第一象限交于點(diǎn)，且滿足.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若矩形的四條邊均與橢圓相切，求該矩形面積的取值范圍.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）易知，設(shè)，，根據(jù)勾股定理計(jì)算得到，得到橢圓方程.

（2）考慮矩形邊與坐標(biāo)軸平行和不平行兩種情況，聯(lián)立方程組根據(jù)得到和的關(guān)系，計(jì)算邊長(zhǎng)得到面積表達(dá)式，根據(jù)均值不等式計(jì)算得到答案.

（1）由，可知橢圓半焦距，

設(shè)，因?yàn)?/span>，所以，

在△中，，即，所以，

所以，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）記矩形面積為，當(dāng)矩形一邊與坐標(biāo)軸平行時(shí)，易知.

當(dāng)矩形的邊與坐標(biāo)軸不平行時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性，設(shè)其中一邊所在直線方程為，

則對(duì)邊所在直線方程為，

另一邊所在的直線方程為，則對(duì)邊所在直線方程為，

聯(lián)立，得，

由題意知，整理得，

矩形的一邊長(zhǎng)為，同理，矩形的另一邊長(zhǎng)為，

，

因?yàn)?/span>，所以，所以(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立)，

所以，則，所以.

綜上所述，該矩形面積的取值范圍為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某中學(xué)高三年級(jí)在返校復(fù)學(xué)后，為了做好疫情防護(hù)工作，一位防疫督察員要將2盒完全相同的口罩和3盒完全相同的普通醫(yī)用口罩全部分配給3個(gè)不同的班，每個(gè)班至少分得一盒，則不同的分法種數(shù)是（ ）

A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐E﹣ABCD的側(cè)棱DE與四棱錐F﹣ABCD的側(cè)棱BF都與底面ABCD垂直，，//，.

（1）證明：//平面BCE.

（2）設(shè)平面ABF與平面CDF所成的二面角為θ，求.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】求直線關(guān)于對(duì)稱的直線方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

（1）求直線l和曲線C的極坐標(biāo)方程；

（2）若直線與直線l相交于點(diǎn)A，與曲線C相交于不同的兩點(diǎn)M，N.求的最小值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】正態(tài)分布有極其廣泛的實(shí)際背景，生產(chǎn)與科學(xué)實(shí)驗(yàn)中很多隨機(jī)變量的概率分布都可以近似地用正態(tài)分布來(lái)描述.例如，同一種生物體的身長(zhǎng)、體重等指標(biāo).隨著“綠水青山就是金山銀山”的觀念不斷的深入人心，環(huán)保工作快速推進(jìn)，很多地方的環(huán)境出現(xiàn)了可喜的變化.為了調(diào)查某水庫(kù)的環(huán)境保護(hù)情況，在水庫(kù)中隨機(jī)捕撈了100條魚稱重.經(jīng)整理分析后發(fā)現(xiàn)，魚的重量x（單位：kg）近似服從正態(tài)分布，如圖所示，已知.

（Ⅰ）若從水庫(kù)中隨機(jī)捕撈一條魚，求魚的重量在內(nèi)的概率；

（Ⅱ）（�。⿵牟稉频�100條魚中隨機(jī)挑出6條魚測(cè)量體重，6條魚的重量情況如表.

重量范圍（單位：kg）

條數(shù)

1

3

2

為了進(jìn)一步了解魚的生理指標(biāo)情況，從6條魚中隨機(jī)選出3條，記隨機(jī)選出的3條魚中體重在內(nèi)的條數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（ⅱ）若將選剩下的94條魚稱重做標(biāo)記后立即放生.兩周后又隨機(jī)捕撈1000條魚，發(fā)現(xiàn)其中帶有標(biāo)記的有2條.為了調(diào)整生態(tài)結(jié)構(gòu)，促進(jìn)種群的優(yōu)化，預(yù)備捕撈體重在內(nèi)的魚的總數(shù)的40%進(jìn)行出售，試估算水庫(kù)中魚的條數(shù)以及應(yīng)捕撈體重在內(nèi)的魚的條數(shù).

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形是菱形，，為的中點(diǎn)，平面，.

(1)求證：平面平面；

(2)若，，且，求二面角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】四棱錐中，PC⊥面ABCD，直角梯形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB=4，CD=1，PC=2，點(diǎn)M在PB上且PB=4PM，PB與平面PCD所成角為60°.

（1）求證：面：

（2）求二面角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】2012年12月18日，作為全國(guó)首批開展空氣質(zhì)量新標(biāo)準(zhǔn)監(jiān)測(cè)的74個(gè)城市之一，鄭州市正式發(fā)布數(shù)據(jù).資料表明，近幾年來(lái)，鄭州市霧霾治理取得了很大成效，空氣質(zhì)量與前幾年相比得到了很大改善.鄭州市設(shè)有9個(gè)監(jiān)測(cè)站點(diǎn)監(jiān)測(cè)空氣質(zhì)量指數(shù)（），其中在輕度污染區(qū)、中度污染區(qū)、重度污染區(qū)分別設(shè)有2,5,2個(gè)監(jiān)測(cè)站點(diǎn)，以9個(gè)站點(diǎn)測(cè)得的的平均值為依據(jù)，播報(bào)我市的空氣質(zhì)量.

（Ⅰ）若某日播報(bào)的為118，已知輕度污染區(qū)的平均值為74，中度污染區(qū)的平均值為114，求重度污染區(qū)的平均值；

（Ⅱ）如圖是2018年11月的30天中的分布，11月份僅有一天在內(nèi).

組數(shù)

分組

天數(shù)

第一組

3

第二組

4

第三組

4

第四組

6

第五組

5

第六組

4

第七組

3

第八組

1

①鄭州市某中學(xué)利用每周日的時(shí)間進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，以公布的為標(biāo)準(zhǔn)，如果小于180，則去進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐活動(dòng).以統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中的頻率為概率，求該校周日進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的概率；

②在“創(chuàng)建文明城市”活動(dòng)中，驗(yàn)收小組把鄭州市的空氣質(zhì)量作為一個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)，從當(dāng)月的空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中抽取3天的數(shù)據(jù)進(jìn)行評(píng)價(jià)，設(shè)抽取到不小于180的天數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案