Question

1．已知函數(shù)$f（x）=sinxcosx+\sqrt{3}{cos^2}x-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（1）求f（x）的最小正周期和對(duì)稱軸；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{4}$個(gè)單位后，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的$\frac{1}{2}$，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角的正弦公式和輔助角公式，化簡得f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$），再由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)加以計(jì)算，即可求出函數(shù)f（x）的最小正周期和對(duì)稱軸；
（2）根據(jù)正弦函數(shù)圖象的變換規(guī)律推知y=g（x）=sin（4x-$\frac{π}{6}$）的圖象，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得出結(jié)論．．

解答 解：（1）$f（x）=sinxcosx+\sqrt{3}{cos^2}x-\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{1}{2}sin2x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos2x=sin（2x+\frac{π}{3}）$，
最小正周期T=π．
$\begin{array}{l}由2x+\frac{π}{3}=kπ+\frac{π}{2}（k∈Z）得\\ 對(duì)稱軸為x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{12}（k∈Z）\end{array}$
（2）由題可知$g（x）=sin（4x-\frac{π}{6}）$．
$\begin{array}{l}由2kπ-\frac{π}{2}≤4x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}（k∈Z）\\ 得\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}≤4x-\frac{π}{6}≤\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}\end{array}$
$所以g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[{\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}，\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}}]，（k∈Z）$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規(guī)律，考查了余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．