Question

已知橢圓和雙曲線有相同的焦點F₁、F₂，點P為橢圓和雙曲線的一個交點，則|PF₁|•|PF₂|的值是________．

Answer 1

25
分析：先根據(jù)橢圓和雙曲線有相同的焦點F₁、F₂，得到m²-n²=25；再根據(jù)點P為橢圓和雙曲線的一個交點結(jié)合定義求出|PF₁|與|PF₂|的表達式，代入即可求出|PF₁|•|PF₂|的值．
解答：因為橢圓和雙曲線有相同的焦點F₁、F₂，
所以有：m²-16=n²+9?m²-n²=25
設(shè)P在雙曲線的右支上，左右焦點F₁、F₂：
利用橢圓以及雙曲線的定義可得：|PF₁|+|PF₂|=2m ①
|PF₁|-|PF₂|=2n ②
由①②得：|PF₁|=m+n，|PF₂|=m-n．
∴|PF₁|•|PF₂|=m²-n²=25．
故答案為：25．
點評：本題主要考查圓錐曲線的綜合問題．解決本題的關(guān)鍵在于根據(jù)橢圓和雙曲線有相同的焦點F₁、F₂，利用定義化簡．