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(本小題滿分13分)

已知橢圓：的右焦點為F，離心率，橢圓C上的點到F的距離的最大值為，動點,以OM為直徑的圓的圓心是.

（I）求橢圓的方程C的方程.

（II）若點N在圓上，且,過N作直徑OM的垂線NP,垂足為P,求證：直線NP恒過右焦點F.

解：（I） 由題意知，,所以，從而，

故橢圓C的方程為           ……………………4分

（II）證明：設

 (1)   …………6分

   ……………………………………. (2)  …………8分

由(2)-(1)得： ， …11分

∴直線NP恒過右焦點F（1,0）………………………………………………. 13分

（II）解法2:∵直線OM的斜率為，直線OM垂直直線NF

∴直線NF的斜率為，∴直線NF的方程為：……..(*)

,

,

,………….11分

 (3)

將(3)代入(*)得，即直線NF的方程為

∴直線NP恒過右焦點F（1,0）……………………………………. 13分

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