Question

2．已知函數(shù)$f（x）={（cosx+sinx）^2}-2sinxcos（\frac{π}{2}-x）$
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的最大值及f（x）取最大值時(shí)x的集合；
（Ⅲ）求函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二倍角公式以及兩角和的正弦函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，然后求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）利用正弦函數(shù)的最值求解函數(shù)f（x）的最大值及f（x）取最大值時(shí)x的集合；
（Ⅲ）利用正弦函數(shù)的和單調(diào)增區(qū)間求解函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間．

解答 解：函數(shù)$f（x）={（cosx+sinx）^2}-2sinxcos（\frac{π}{2}-x）$=cos2x+2sinxcosx=cos2x+sin2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）
（Ⅰ）函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π；
（Ⅱ）因?yàn)?\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）$≤\sqrt{2}$，
函數(shù)f（x）的最大值$\sqrt{2}$，當(dāng)2x+$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即x=kπ$+\frac{π}{8}$時(shí)，f（x）取最大值，
此時(shí)x的集合：{x|x=kπ$+\frac{π}{8}$，k∈Z}；
（Ⅲ）2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
解得$kπ-\frac{3π}{8}$≤x≤kπ$+\frac{π}{8}$，
函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間[$kπ-\frac{3π}{8}$，kπ$+\frac{π}{8}$]．k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的周期性，三角函數(shù)的最值的求法，兩角和與差的三角函數(shù)，考查計(jì)算能力．