Question

在周長(zhǎng)為定值的△ABC中，已知|AB|=6，且當(dāng)頂點(diǎn)C位于定點(diǎn)P時(shí)，cosC有最小值為.

(1).建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求頂點(diǎn)C的軌跡方程.

(2).過點(diǎn)A作直線與(1)中的曲線交于M、N兩點(diǎn)，求的最小值的集合.

Answer 1

解析：(1) 以AB所在直線為x軸，線段AB的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè) |CA|+|CB|=2a(a>3)為定值，所以C點(diǎn)的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓，所以焦距 2c=|AB|=6.

 因?yàn)?

又 ，所以 ，由題意得 .

此時(shí)，|PA|=|PB|，P點(diǎn)坐標(biāo)為 P(0，±4).

所以C點(diǎn)的軌跡方程為  

(2) 不妨設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為A(-3，0)，M(x₁,y₁),N(x₂,y₂).當(dāng)直線MN的傾斜角不為90⁰時(shí)，設(shè)其方程為 y=k(x+3) 代入橢圓方程化簡(jiǎn)，得

顯然有 △≥0， 所以

而由橢圓第二定義可得

只要考慮 的最小值，即考慮取最小值，顯然.

當(dāng)k=0時(shí)，取最小值16.

當(dāng)直線MN的傾斜角為90⁰時(shí)，x₁=x₂=-3,得

但 ，故，這樣的M、N不存在，即的最小值的集合為空集.