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如圖,是邊長為3的正方形，，,與平面所成的角為.

(1)求二面角的的余弦值;
(2)設點是線段上一動點，試確定的位置，使得，并證明你的結論.

（1）；（2）三等分點

解析試題分析：（1）根據平面，確定就是與平面所成的角，從而得到，且，可以建立空間直角坐標系，寫出，設出的一個法向量為，根據，解出，而平面的法向量設為，所以利用向量數量積公式得出二面角的余弦值為；（2）由題意設，則，而平面，∴，代入坐標，求出，所以點M的坐標為，此時，∴點M是線段BD靠近B點的三等分點.
試題解析：
平面，就是與平面所成的角，即，∴.
如圖，分別以為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，則各點的坐標如下，∴，設平面的一個法向量為，則，即，令，則.
∵平面，∴平面的法向量設為，∴，故二面角的余弦值為.

（2）由題意，設，則，∵平面，∴，即解得，∴點M的坐標為，此時，∴點M是線段BD靠近B點的三等分點.
考點：1.直線，平面位置關系的證明；2.利用空間向量求二面角.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，在三棱錐中，，，為的中點，為的中點，且為正三角形.

（1）求證：平面；
（2）若，，求點到平面的距離．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知矩形，，點是的中點，將△沿折起到△的位置，使二面角是直二面角.


(1)證明：⊥面；
(2)求二面角的余弦值.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖,在三棱錐中,側面與底面垂直, 分別是的中點,,,.

(1)若點在線段上,問:無論在的何處,是否都有?請證明你的結論;
(2)求二面角的平面角的余弦．

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如圖，在直三棱柱中，，，為的中點.

（1）求證：∥平面；
（2）求證：平面；

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如圖,四邊形ABCD為平行四邊形，四邊形ADEF是正方形，且BD⊥平面CDE，H是BE的中點,G是AE,DF的交點.

（1）求證:GH∥平面CDE；
（2）求證:面ADEF⊥面ABCD.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，是⊙的一條切線，切點為，都是⊙的割線，已知．

（1）證明：；
（2）證明：．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD^底面ABCD，PD＝DC，點E是PC的中點，作EF^PB交PB于點F，

(1)求證：PA//平面EDB；
(2)求證：PB^平面EFD；
(3)求二面角C-PB-D的大小.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，底面ABCD是正方形，側棱底面ABCD，，E是PC的中點．

（Ⅰ）證明 平面EDB；
（Ⅱ）求EB與底面ABCD所成的角的正切值．

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